线性代数与张量体系地图：从运算与方程（矩阵分解的工程起源），到谱理论（分解的抽象统一），再到空间结构与几何（内积家族撑起的度量世界）。主线一条——分解矩阵，就是把线性问题拆成独立方向的乘积。运算速查入口 向量、矩阵、张量核心运算总结。
运算基础
矩阵语言的基本词汇：向量代数、张量运算与求和记号。
- 向量、矩阵、张量核心运算总结 — 运算全景 + Python/einsum 行为对照
- 向量的各种积 — 内积/叉积/哈达玛积/张量积的几何意义
- 爱因斯坦求和约定 — 多维运算的紧凑记号
线性方程组与矩阵分解
解 是矩阵分解的工程起源：把一般矩阵拆成三角、正交等「好解」因子的乘积。
- 高斯消元与线性方程组 — 消元法与解的结构判据
- LU 分解 — 消元的矩阵化沉淀，解方程的复用引擎
- Cholesky 分解 — 对称正定矩阵的专属快车道
- QR 分解 — 正交化与数值稳定的万金油
- 伪逆与最小二乘 — 无解/多解方程的统一最优解
谱理论
从「变换的不变方向」出发：特征值、谱定理与 SVD 构成分解理论的抽象主线。
- 特征值与特征向量 — 不变方向与对角化
- 谱定理 — 对称/Hermitian 矩阵的正交特征基保证
- 奇异值分解 SVD — 任意矩阵的旋转-拉伸-旋转；低秩逼近根基
- 行列式 — 体积缩放因子，奇异性的检测器
- 矩阵的秩 — 独立方向的计数
空间结构与几何
内积家族撑起度量世界：从欧氏空间到希尔伯特空间，从酉几何到辛几何。
- 线性变换 — 矩阵的本质身份：基之间的线性映射
- 向量空间的结构 — 加什么结构得什么几何剩什么群（总览）
- 欧氏空间 — 标准内积的有限维原型
- 内积 — 长度与角度的公理化来源
- 范数 — 长度的公理化
- 正交与正交基 — 垂直与投影
- 柯西-施瓦茨不等式 — 内积与范数的桥梁
- 希尔伯特空间 — 完备内积空间，无穷维几何的舞台
- 辛结构 — 反对称版内积，哈密顿力学的相空间几何
符号与工具
- argmax 数学符号详解 — argmax 与 max 的区别
- 复数运算 — 共轭与复平面运算
- 对数运算 — 对数恒等式速查
- 余弦相似度 — 归一化内积的相似度应用