LU 分解

LU 分解把方阵拆成下三角乘上三角 $A = LU$ ——它是高斯消元过程的矩阵化沉淀：消元做一次 $O (n^{3})$ ，此后每个新右端 $b$ 的求解只需 $O (n^{2})$ 。

定义：消元的账本

A = LU, L 单位下三角, U 上三角

$L$ 的第 $(i, j)$ 元就是第 $j$ 步消元中用于消去第 $i$ 行的乘数——消元时顺手记录即可，无需额外计算。存在性：各阶顺序主子式非零则分解唯一；不满足时换行补救，得带主元的版本：

P A = LU

$P$ 是置换矩阵，列主元（partial pivoting）同时解决零主元与舍入误差放大两个问题，实践默认开启。

场景	做法
解 $A x = b$	先 $L y = b$ （前代）再 $Ux = y$ （回代），各 $O (n^{2})$
求行列式	$det A = det P^{- 1} \prod_{i} U_{ii}$ ，分解的免费副产品
求逆	对 $n$ 个单位向量逐列回代——但「求逆再乘」几乎总是错误用法，正确姿势是直接解方程

对称正定矩阵（ $A^{T} A$ 类，协方差、能量泛函的 Hessian 常见）有专属快车道 Cholesky 分解： $A = L L^{T}$ ，只算一半，减半存储与耗时，且无需主元。

三角分解管「解方程」；正交化分解 QR 分解管「最小二乘与稳定性」；谱系分解（特征值与特征向量、谱定理、奇异值分解 SVD）管「结构揭示」。三者构成矩阵分解的工程主线，总览见线性代数与张量 MOC。