特征值与特征向量回答的是「变换的不变方向」：，方向不变、只被伸缩。找到全部不变方向，矩阵在最优坐标系下就变成对角的——一切对角化与分解理论从这里出发。
定义
满足方程 ——特征多项式（见行列式）的根即特征值。恒等式 、 说明它们是线性变换的基不变量。
对角化
若 有 个线性无关特征向量，则
的列是特征向量。此时 ——幂、指数、长程演化全部化简。亏缺（defective，几何重数 < 代数重数）时特征向量不够用，只能约当化，幂运算残留耦合项。数值上主推幂法（最大 及其向量）与 QR 分解 迭代（全谱），而非解特征多项式——五次以上无根式解，且求根本身病态。
复矩阵下特征值全在单位圆上 ⟺ 酉矩阵（见向量空间的结构）；正矩阵的 Perron–Frobenius 定理则保证最大正特征值存在——PageRank 的数学根基。
谱定理的入口
一般矩阵可能亏缺，但对称 / Hermitian 矩阵永远可对角化且特征向量可取正交组——这是谱定理，整个谱理论的顶点。实对称矩阵特征值全实（可作为「能量只能取分立值」的代数源头），它把 从运气变成保证。
任意矩阵（长方形也行）则走 的桥到奇异值分解 SVD——特征分解的普适推广。