行列式

行列式把方阵压缩成一个数：它是线性变换对体积的缩放因子，也是奇异性的检测器——$\det A=0$ 与「不可逆」「列向量线性相关」「零是特征值」是同一句话的不同说法。

定义

$n$ 阶方阵 $A$ 的行列式是列向量的交替多线性型，归一化于单位矩阵：

$$\det A=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$$

展开式只是定义的副产品，计算用它必然指数爆炸；工程上走分解路线——$\det A={\prod }_i{U}_{ii}$（LU 分解顺带产出）或 ${\prod }_i{\lambda }_i$（特征值与特征向量之积）。

几何意义

列向量张成的平行多面体的有向体积。二维是平行四边形面积，三维是平行六面体体积。交替性对应「交换两列则变号」——交换两条棱，定向翻转。

由此读出全部关键性质：

性质	读法
$\det (AB)=\det A\cdot \det B$	复合变换的体积缩放是乘法
$\det (A^{-1})=1/\det A$	逆变换把体积缩放还原
$\det A=0⟺$ 奇异	变换把空间压扁（$n$ 维 → 低维），体积归零
$\det (kA)=k^n\det A$	每条棱都拉长 $k$ 倍

正交变换 $|\det |=1$（保体积），$SL(n)$ 则是 $\det =1$ 的保体积群（见向量空间的结构）。

与秩、特征值的接口

• $\det A\ne 0⟺$ 矩阵的秩满秩 $n$——行列式是秩的「0/1 检测」粗粒度版
• $\det (A-\lambda I)=0$ 即特征方程，行列式在此充当特征值与特征向量的入口
• 相似变换下行列式不变：$\det (P^{-1}AP)=\det A$——它是线性变换的基无关量

相关笔记

• 行列式的消元视角见 高斯消元与线性方程组——主元之积即行列式
• 辛结构 — $\det M=1$ 恒成立，辛群是保体积群的具体化
• 鞋带公式 — 二维多边形面积是行列式的直接应用