复数运算

复数 $z=a+bi$ 扩展了实数系统，其中 $i^2=-1$。

表示形式

形式	表达式
代数形式	$z=a+bi$
极坐标形式	$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
欧拉形式	$z=r{e}^{i\theta }$

基本运算

加法：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

乘法：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

除法：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$

重要性质

性质	公式
模	$\Vert z\Vert =\sqrt{a^2+b^2}$
共轭	$\bar{z}=a-bi$
欧拉公式	$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$
棣莫弗定理	$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$

应用场景

• 信号处理：傅里叶变换
• 电路分析：交流电路阻抗
• 量子力学：波函数表示
• 控制系统：传递函数分析