希尔伯特空间（Hilbert space）是完备的内积空间：把欧氏空间的几何直觉（长度、角度、正交投影）原封不动搬进无穷维。
定义与作用
内积空间若再要求完备（所有 Cauchy 列都收敛），即为希尔伯特空间。完备性是关键门槛——它保证极限不越出空间，投影定理（最近点存在）成立，标准正交基（可数无穷个）可用。
| 代表 | 说明 |
|---|---|
| 平方可和数列空间，无穷维标准正交基 | |
| 平方可积函数空间，傅里叶基 是其正交基（按 、 归一化后方为标准正交基） |
一句话作用：凡是要对函数做「几何」的地方，舞台都是希尔伯特空间。
在哪里遇到它
- 量子力学：态空间是复希尔伯特空间，可观测量是其上的 Hermitian 算符（见向量空间的结构）
- 傅里叶/小波分析： 与小波基都是 的标准正交基（见小波变换）
- 核方法：再生核希尔伯特空间（RKHS）——由核函数张成、点值泛函连续的函数空间——让「升维后线性可分」有严格意义（见支持向量机（SVM））
- 泛函分析：与 泛函、对偶空间构成主体框架
不完备的反例：连续函数配积分内积不完备（Cauchy 列可收敛到不连续的阶梯函数）——补全极限后正是 。