系统稳定性 Stability

稳定性是控制设计的门槛——先回答「会不会发散」，再谈快与准。对 LTI 系统这一问题被极点位置完全刻画：本篇梳理 BIBO 与渐近稳定两套定义、s 平面判据、Routh–Hurwitz 代数判据与相对稳定性裕度，并划清与 Lyapunov 方法的分工。

两套定义：外部与内部

定义	含义	LTI 判据
BIBO 稳定（外部）	有界输入必产生有界输出	脉冲响应绝对可积 $\int_{0}^{\infty} ∣ g (t)∣ d t < \infty$ ，等价于极点全在开左半平面
渐近稳定（内部）	零输入下状态从任意初值收敛回平衡点 $lim_{t \to \infty} x (t) = 0$	系统矩阵 $A$ 的特征值实部全负

蕴涵是单向的：渐近稳定 ⟹ BIBO 稳定，反之不然。传递函数 Transfer Function 中零极点对消掉的右半平面极点（如 $\frac{s - 2}{( s + 1 ) ( s - 2 )}$ 化简后只剩 $\frac{1}{s + 1}$ ）输出端看不见，内部状态却按 $e^{2 t}$ 发散——BIBO 稳、内部不稳。系统能控且能观（最小实现）时两者才等价。

s 平面极点判据

零输入响应是各特征根对应模态的叠加，每对共轭复极点 $σ \pm jω$ 贡献一个包络为 $e^{σ t}$ 、频率为 $ω$ 的振荡：

极点位置	模态形态	结论
$σ < 0$ ，左半平面	衰减指数 / 衰减振荡	渐近稳定
虚轴单极点	常值 / 等幅振荡	临界稳定
虚轴重极点	$t sin ω t$ 类增长	不稳定
$σ > 0$ ，右半平面	指数增长	不稳定

判据：全部极点实部严格为负 ⟺ 渐近稳定，几何上即极点落在开左半平面。极点离虚轴越远衰减越快，距虚轴最近的主导极点决定调节时间 $t_{s} \approx 4/ ∣ σ ∣$ ——极点位置与时域曲线的对应见时域响应 Time Response。

Routh–Hurwitz 代数判据

闭环特征方程 $1 + L (s) = 0$ 通分即得特征多项式 $a_{n} s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{0} = 0$ ；四阶以上没有求根公式，而判稳只需知道根的分布、无需根本身——Routh–Hurwitz 用系数直接数出右半平面根的个数。

必要条件（可秒杀否决）：系数全部同号、不缺项。满足后排 Routh 表：

	第 1 列	第 2 列	第 3 列
$s^{n}$	$a_{n}$	$a_{n - 2}$	$a_{n - 4}$
$s^{n - 1}$	$a_{n - 1}$	$a_{n - 3}$	$a_{n - 5}$
$s^{n - 2}$	$b_{1}$	$b_{2}$	⋯
$⋮$

每个新元素由上两行的首列与右一列作二阶行列式生成： $b_{1} = \frac{a _{n - 1} a _{n - 2} - a _{n} a _{n - 3}}{a _{n - 1}}$ 。

判读：首列符号变化次数 = 右半平面根的个数；首列全同号 ⟺ 稳定。Hurwitz 版本改判各阶 Hurwitz 行列式全正，二者等价，工程只用 Routh 表。

例： $s^{4} + 2 s^{3} + 3 s^{2} + 4 s + 5$ ：

	第 1 列	第 2 列	第 3 列
$s^{4}$	1	3	5
$s^{3}$	2	4	0
$s^{2}$	1	5	—
$s^{1}$	$- 6$	0	—
$s^{0}$	5	—	—

首列 $1, 2, 1, - 6, 5$ 两次变号 → 恰有两个右半平面极点。

两种退化情形：首列出现零，以小正数 $ε$ 代之继续，按 $ε \to 0^{+}$ 判读；整行全零，用上一行系数组成的辅助多项式求导填充——它警告存在关于原点对称的根（虚轴上或正负成对）。

最实用的产出：临界增益。特征方程含可变增益 $K$ 时，令 $s^{1}$ 行首元为零解出 $K_{cr}$ ，即增益的稳定上界——PID 整定中 Ziegler–Nichols 的临界增益 $K_{u}$ 正是由此而来。

def routh(coeffs):
    """coeffs: 特征多项式系数, 按 s^n 降幂; 返回 Routh 表首列"""
    n = len(coeffs) - 1
    m = (n + 2) // 2                        # 每行长度, 短行补零对齐
    table = [coeffs[i::2] + [0.0] * (m - len(coeffs[i::2]))
             for i in range(2)]             # 前两行交错取系数
    for _ in range(n - 1):
        p2, p1 = table[-2], table[-1]
        a = p1[0] if p1[0] != 0 else 1e-12  # 首列零以 ε 代换
        nxt = [(a * p2[j+1] - p2[0] * p1[j+1]) / a  # 二阶行列式递推
               for j in range(m - 1)]
        table.append(nxt + [0.0] * (m - len(nxt)))
    return [row[0] for row in table]
 
col = routh([1, 2, 3, 4, 5])             # s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5
print(col)                               # [1.0, 2.0, 1.0, -6.0, 5.0]
changes = sum((x > 0) != (y > 0) for x, y in zip(col, col[1:]))
print(changes)                           # 2 → 两个右半平面极点, 系统不稳定

相对稳定性与裕度

绝对稳定只是及格线。反馈既能镇定开环不稳定的对象，也能把稳定对象推过头——增益、相位滞后、未建模高频动态都在侵蚀名义稳定域，工程上必须追问：离失稳还有多远？

时域度量：最右极点到虚轴的距离 $σ_{m i n}$ 。把 $s \to s - σ$ 代入特征多项式再排 Routh 表，可验证所有极点实部都小于 $- σ$ ，为衰减速度兜底
频域度量：增益裕度 GM（增益还能放大几倍失稳）与相位裕度 PM（相位还能滞后几度失稳），从 Bode/Nyquist 图读出，是频域分析 Frequency Response 的主角；经验值 $PM \in [30°, 60°]$ 、 $GM \geq 6 dB$
设计视角：增大增益把闭环极点向右推，穿越虚轴即失稳；完整的增益—极点迁移图就是根轨迹 Root Locus，穿越点的临界增益由 Routh 表解析给出

与 Lyapunov 方法的分工

	极点 / Routh 路线（本篇）	李雅普诺夫稳定性 Lyapunov Stability
适用对象	线性定常或线性化近似	非线性、时变皆可
思路	系数代数判据，机械可算	构造能量函数 $V (x)$ ，证 $\dot{V} < 0$
附加产出	右半平面根数、临界增益	吸引域、收敛速率估计
局限	只对线性精确	找 $V$ 无通用程序

两条路线在线性情形殊途同归：Lyapunov 方程 $A^{⊤} P + P A = - Q$ （ $Q$ 正定）存在正定解 $P$ ，当且仅当 $A$ 的特征值全负——取 $V = x^{⊤} P x$ 即能量函数。线性化系统的 Jacobian 特征值判据，正是极点判据的局部版本。

训练发散：优化动力学的同一判据

梯度下降迭代 $θ_{k + 1} = θ_{k} - η \nabla L (θ_{k})$ 本身就是离散反馈回路：误差信号是梯度，学习率 $η$ 是回路增益。在最优点附近以 Hessian $H$ 线性化偏差 $δ_{k} = θ_{k} - θ^{*}$ ：

$δ_{k + 1} = (I - ηH) δ_{k}$

稳定 ⟺ 谱落在单位圆内 ⟺ $∣ 1 - η λ_{i} ∣ < 1$ 对所有特征值成立 ⟺ $η < 2/ λ_{m a x} (H)$ 。

学习率上限不是调参玄学，而是这条更新律的临界增益——loss 爆炸就是闭环极点越出稳定域，与根轨迹穿越虚轴是同一件事，只是离散系统的稳定域从左半平面换成了单位圆。顺此视角：momentum 是给回路追加极点，Adam 是逐参数的自适应增益调度，优化器设计本就是小规模控制器设计；深度学习中的 edge of stability 现象——训练有效时恰贴着稳定边界运行——则是不留裕度的名义稳定在实践中的样子。

知识花园

探索