李雅普诺夫稳定性 Lyapunov Stability

Lyapunov 理论把「系统会不会发散」翻译成「能否找到一个沿轨线递减的能量函数」：不解微分方程，用一个标量函数 $V$ 的符号直接判定稳定性分级。它是非线性系统稳定性分析的通用语言，也是优化收敛性证明与强化学习稳定性分析的现成框架。

核心思想：不解方程，看能量

非线性系统 $\overset{x}{˙} = f (x)$ （状态空间表示 State-Space 的非线性推广）的解一般没有解析表达式——常微分方程的定性理论早已指出：与其求轨迹，不如问轨迹的渐进行为。Lyapunov 1892 年的洞见是：稳定性是能量耗散的表现。给状态空间造一个「广义能量」 $V (x)$ ——正定的碗；若沿任意轨线 $V$ 只降不升，轨迹就被困在碗的低处，只能滑向平衡点。

论证不依赖线性性与叠加原理，非线性、时变、离散系统通吃；对线性定常系统它退化为极点判据，与系统稳定性 Stability的 Routh–Hurwitz 路线殊途同归。

稳定性的分级定义

设平衡点已平移到原点（ $f (0) = 0$ ）。

级别	定义	直觉
Lyapunov 稳定	$\forall ε > 0 \exists δ > 0$ ： $∥ x_{0} ∥ < δ \Rightarrow ∥ x (t)∥ < ε (\forall t \geq 0)$	初值扰动不被放大
渐近稳定	稳定，且 $∥ x_{0} ∥ < δ \Rightarrow x (t) \to 0$	轨迹最终回到平衡点
指数稳定	$\exists M, α > 0$ ： $∥ x (t)∥ \leq M e^{- α t} ∥ x_{0} ∥$	收敛速度有指数下界

蕴涵链：指数 ⟹ 渐近 ⟹ 稳定，逆命题均不成立：

$\overset{x}{˙} = - x^{3}$ ：渐近稳定但不指数——解按 $x_{0} / 1 + 2 x_{0}^{2} t \sim t^{- 1/2}$ 衰减，任何指数率都兜不住
无阻尼摆：能量守恒，轨迹停在等能量闭轨上——稳定但不渐近

各级别还分局部（仅某邻域内成立）与全局（任意初值）；渐近稳定的成立范围叫吸引域（region of attraction）。线性系统渐近稳定必全局，非线性吸引域可以有限——这条信息线性化永远给不出来。

直接法：Lyapunov 定理与 LaSalle 不变原理

直接法（第二方法）：取 $V$ 正定（ $V (0) = 0$ ， $x \neq = 0$ 时 $V (x) > 0$ ），沿系统轨线求导 $\dot{V} = \nabla V^{⊤} f (x)$ ，只看符号：

条件	结论
$\dot{V} \leq 0$	稳定
$\dot{V}$ 负定	渐近稳定
上行 + $V$ 径向无界（ $∥ x ∥ \to \infty \Rightarrow V \to \infty$ ）	全局渐近稳定（Barbashin–Krasovskii 定理）
$c_{1} ∥ x ∥^{2} \leq V \leq c_{2} ∥ x ∥^{2}$ 且 $\dot{V} \leq - c_{3} ∥ x ∥^{2}$	指数稳定，速率 $\geq c_{3} /2 c_{2}$

附加红利：若某球内 $\dot{V} < 0$ ，则含于该球的最大水平集 ${V \leq c}$ 整个落在吸引域内—— $V$ 顺手给出吸引域的内界估计。

$\dot{V}$ 仅半负定时上表止步于「稳定」，LaSalle 不变原理补上最后一环：自治系统的轨迹必趋于 ${\dot{V} = 0}$ 内的最大不变集。阻尼摆是标准示例：取总能量 $V = \frac{1}{2} ω^{2} + 1 - cos θ$ ，则 $\dot{V} = - c ω^{2} \leq 0$ 只约束 $ω$ ；但 $ω \equiv 0$ 的不变集还要求 $sin θ = 0$ ，能量不够翻顶的初值最终都落到 $θ = 0$ 。

import numpy as np
 
def f(x):                              # 阻尼摆: x = [theta, omega]
    return np.array([x[1], -0.5 * x[1] - np.sin(x[0])])
 
def V(x):                              # Lyapunov 函数 = 动能 + 势能
    return 0.5 * x[1]**2 + 1 - np.cos(x[0])
 
x, dt = np.array([2.5, 0.0]), 1e-2
for _ in range(20000):                 # RK4 积分 200 s
    k1 = f(x)
    k2 = f(x + dt / 2 * k1)
    k3 = f(x + dt / 2 * k2)
    k4 = f(x + dt * k3)
    x_new = x + dt / 6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
    assert V(x_new) <= V(x) + 1e-10    # V 单调不增: 每步 dV = -0.5*omega^2*dt
    x = x_new
print(x)                               # ~[0, 0]: dV 仅半负定仍收敛到平衡点 (LaSalle)

时变系统的对应工具是 Barbalat 引理： $\dot{V} \leq 0$ 且 $\ddot{V}$ 有界 ⟹ $\dot{V} \to 0$ 。自适应控制里大量「 $\dot{V}$ 半负定 + 信号有界」的论证都由它收尾。

构造 Lyapunov 函数

逆定理保证渐近稳定的系统必存在 Lyapunov 函数，但没说怎么找——构造是这门理论的艺术部分：

方法	做法	适用场景
能量法	机械/电路系统的总能量	有物理背景的对象
二次型试探	$V = x^{⊤} P x$ ， $P ≻ 0$	接近线性的系统
Krasovskii 方法	$V = f (x)^{⊤} P f (x)$ ，要求 Jacobian 处处满足 $A^{⊤} (x) P + P A (x) ≺ 0$	Jacobian 一致 Hurwitz
变梯度法	设 $\nabla V = g (x)$ ，用 $\partial g_{i} / \partial x_{j}$ 对称（可积条件）反解 $g$ 再积分	低维系统手算
SOS 规划	限定 $V$ 为多项式，把 $V ⪰ 0$ 、 $- \dot{V} ⪰ 0$ 写成平方和条件交给 SDP 求解器	多项式系统，可半自动化

线性系统：Lyapunov 方程

取 $V = x^{⊤} P x$ ，沿 $\overset{x}{˙} = A x$ 得 $\dot{V} = x^{⊤} (A^{⊤} P + P A) x$ ，判稳归结为 Lyapunov 方程

$A^{⊤} P + P A = - Q, Q ≻ 0$

定理： $A$ Hurwitz（特征值实部全负）⟺ 对任意 $Q ≻ 0$ 方程存在唯一正定解 $P ≻ 0$ 。且指数速率有可计算下界 $α \geq λ_{m i n} (Q) /2 λ_{m a x} (P)$ ——比「极点实部为负」多出一张收敛率证书。

import numpy as np
 
A = np.array([[0.0, 1.0], [-1.0, -0.5]])       # 阻尼摆在原点处的 Jacobian
n, Q = len(A), np.eye(2)
M = np.kron(A.T, np.eye(n)) + np.kron(np.eye(n), A.T)  # 向量化: vec(A^T P + P A) = M vec(P)
P = np.linalg.solve(M, (-Q).flatten()).reshape(n, n)
print(np.linalg.eigvalsh(P))                   # [1.61, 2.64] 全正 → P 正定, A 确为 Hurwitz

与最优控制在同一处接轨：LQR 闭环 $A_{c l} = A - B R^{- 1} B^{⊤} P_{r}$ 下，最优代价 $J^{*} = x^{⊤} P_{r} x$ 满足 $\dot{J}^{*} = - x^{⊤} (Q + P_{r} B R^{- 1} B^{⊤} P_{r}) x < 0$ ——最优反馈天然镇定，价值函数自己就是 Lyapunov 函数（详见最优控制 Optimal Control）。

间接法：线性化

间接法（第一方法）：在平衡点处取 Jacobian $A = \frac{\partial f}{\partial x}_{x = 0}$ ，用线性近似 $\dot{δ x} = A δ x$ 的结论反推原系统：

$A$ Hurwitz ⟹ 原系统局部指数稳定
$A$ 有右半平面特征值 ⟹ 不稳定
$A$ 有虚轴特征值 ⟹ 无结论

临界情形的警示样本仍是 $\overset{x}{˙} = \pm x^{3}$ ：两者 Jacobian 同为 $A = 0$ ，稳定性却相反，线性化失效，只能回到直接法（ $V = x^{2}$ 一行判完）。间接法本质是极点判据的局部化——线性方法在平衡点邻域内继续有效，但邻域多大（吸引域），线性化说了不算。

接口：优化收敛性证明

离散时间把 $\dot{V}$ 换成差分： $V (x_{k + 1}) - V (x_{k}) \leq - α V (x_{k})$ ⟹ $V$ 几何衰减；线性情形即离散 Lyapunov 方程 $A^{⊤} P A - P = - Q$ ，稳定域从开左半平面换成开单位圆。

梯度下降的收敛证明是这条判据的直接套用。取 $V (θ) = L (θ) - L (θ^{*})$ ，对 $β$ -光滑的 $L$ ，下降引理给出

$L (θ_{k + 1}) \leq L (θ_{k}) - η (1 - \frac{β η}{2}) ∥ \nabla L (θ_{k}) ∥^{2}$

$η \leq 1/ β$ 时右端严格下降—— $V$ 沿迭代单调递减，这就是 Lyapunov 论证。非凸场景下 $L$ 不正定，「稳定到点」退化为「收敛到驻点集」： ${\nabla L = 0}$ 正是不变集，结论形态与 LaSalle 原理同构。再假设 PL 条件 $\frac{1}{2} ∥ \nabla L ∥^{2} \geq μ (L - L^{*})$ ，则每步 $V_{k + 1} \leq (1 - Ω (η μ)) V_{k}$ ——PL 不等式就是优化版的指数稳定，线性收敛率即 Lyapunov 指数。momentum 更是明证：heavy-ball 写成二阶阻尼系统后，收敛证明的标准做法正是构造二维状态的 Lyapunov 函数。

接口：强化学习中的稳定性

RL 与 Lyapunov 的对应是结构性的（详见控制理论与强化学习 Control and Reinforcement Learning）：

价值函数即 Lyapunov 函数：确定性最优控制的 Bellman 方程 $J^{*} (x) = min_{u} [ℓ (x, u) + J^{*} (f (x, u))]$ 沿最优闭环给出 $J^{*} (x_{k + 1}) = J^{*} (x_{k}) - ℓ (x_{k}, u_{k}^{*})$ ——一步成本 $ℓ > 0$ 保证 cost-to-go 严格递减；LQR 是其特例
Safe RL：学策略的同时学/验证一个 $V$ ，约束 $Δ V \leq 0$ 在安全集内成立，取水平集 ${V \leq c}$ 嵌入安全集作不变域——稳定性证书变成可优化的约束
MPC 稳定性：终端代价充当 Lyapunov 函数 + 终端集不变性，是递归可行与闭环收敛的标准证明装置
自适应控制：参数更新律的设计目标就是消去 $\dot{V}$ 中的参数误差交叉项——整门学科的证明引擎是同一个 $V$

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