传递函数 Transfer Function

传递函数是 LTI 系统在零初始条件下输出与输入的 Laplace 变换之比：一个 $s$ 域有理分式封装系统全部外部动态，把微分运算降为代数运算，是经典控制理论的分析基座。

定义与成立条件

由常微分方程描述的 $n$ 阶线性定常系统：

$a_{n} y^{(n)} + \dots + a_{1} \overset{y}{˙} + a_{0} y = b_{m} u^{(m)} + \dots + b_{0} u$

零初始条件下两边取 Laplace 变换，微分算子 $d / d t$ 化为 $s$ 的幂：

$G (s) = \frac{Y ( s )}{U ( s )} = \frac{b _{m} s ^{m} + \dots + b _{1} s + b _{0}}{a _{n} s ^{n} + \dots + a _{1} s + a _{0}}$

三个成立条件：

条件	说明
线性定常（LTI）	非线性不满足叠加原理，只能围绕工作点线性化；时变则分式随时间漂移
零初始条件	非零初值激励的自由响应不含于 $G (s)$ ，需单独叠加
外部 I/O 描述	只见端子不见内部，隐藏模态不可见（对照状态空间表示 State-Space）

要点：

$G (s)$ 是系统固有属性，与输入形式无关；等于脉冲响应 $g (t)$ 的 Laplace 变换
物理可实现系统满足 $m \leq n$ （真有理分式）， $m = n$ 对应直接馈通项
反向互推：分母多项式即 ODE 的特征多项式，系数一一对应

零点、极点与动态直觉

有理分式总可分解为零极点增益（ZPK）形式：

$G (s) = K^{*} \frac{\prod _{i = 1}^{m} ( s - z _{i} )}{\prod _{j = 1}^{n} ( s - p _{j} )}$

极点 $p_{j}$ 是模态 $e^{p_{j} t}$ 的发源地：实部定衰减/发散速率，虚部定振荡频率。极点全部位于左半平面 $\Leftrightarrow$ 渐近稳定，一切稳定性判据由此出发（系统稳定性 Stability）；离虚轴最近的主导极点近似决定过渡过程形态（时域响应 Time Response）
零点 $z_{i}$ 决定模态的通行权： $s = z_{i}$ 处信号被阻断。靠近虚轴的 LHP 零点引起逆向响应（先朝反方向运动），RHP 零点（非最小相位）限制可达带宽
增益 $K^{*}$ 等比缩放幅值，不改变响应形态

极点集即特征方程 $a_{n} s^{n} + \dots + a_{0} = 0$ 的根——传函直接继承 ODE 的特征值分析，但以代数分式的紧凑形式呈现。

方块图与化简

复杂系统的方块图由三种基本连接构成：

连接	等效传函
串联	$G_{1} G_{2}$
并联	$G_{1} + G_{2}$
负反馈	$\frac{G}{1 + G H}$

负反馈公式最关键，闭环传函：

$Φ (s) = \frac{G ( s )}{1 + G ( s ) H ( s )}$

闭环极点由特征方程 $1 + G (s) H (s) = 0$ 决定，一般不同于开环极点；经典设计的核心正是整形开环传函的零极点与增益来配置闭环极点。反馈为何值得付出这份复杂度，见反馈控制 Feedback。

与其他表示互推

状态空间：对 $\overset{x}{˙} = A x + B u, y = C x + D u$ 取变换消去 $x$ ：

$G (s) = C (s I - A)^{- 1} B + D$

同一传函对应无穷多个实现，其中既能控又能观的最小实现在模等价意义下唯一。反向转换若发生零极点对消，被消去的模态从 I/O 中消失却仍在内部演化——不稳定的隐藏模态正是外部描述的盲区。

频率特性：令 $s = j ω$ ， $G (j ω)$ 的幅值与相位随 $ω$ 的变化即频率响应，直接通往 Bode 图与 Nyquist 判据（频域分析 Frequency Response）。

AI/ML 视角

系统辨识：缺机理模型时用 I/O 数据反推 $G$ ——采样系统拟合离散有理分式 $G (z)$ ：参数化方法回归分子分母系数，非参数化方法先估脉冲响应或谱再拟合。本质是把建模变成监督学习
序列模型的传函内核：S4 类状态空间模型（SSM）的核心技巧正是控制理论的老朋友——线性递归写成 $(A, B, C)$ ，离散化后经传递函数 $C (z I - \overset{ˉ}{A})^{- 1} \overset{ˉ}{B}$ 在频域采样点上解析计算卷积核，训练走并行卷积、推理走循环形式。Mamba 的选择性机制使参数随输入变化，系统退出 LTI 世界，卷积/传函表述随之失效——恰好反向印证了成立条件第一条
更宽的视角：CNN 是 FIR 滤波器，RNN 是 IIR 滤波器，脉冲响应与传函是统一的频域语言

数值示例

from scipy import signal
 
# G(s) = 3(s + 2) / (s^2 + 0.8s + 4)
num, den = [3, 6], [1, 0.8, 4]
 
z, p, k = signal.tf2zpk(num, den)   # 零极点增益形式
print(f"zeros {z}, poles {p}, gain {k}")
# 极点 -0.4±1.96j：负实部 -> 渐近稳定，虚部 -> 欠阻尼振荡
 
t, y = signal.step([num, den])      # 阶跃响应 = G(s)/s 的逆 Laplace 变换
print(f"峰值 {y.max():.2f}，终值 {y[-1]:.2f}")
 
A, B, C, D = signal.tf2ss(num, den) # 传函 -> 状态空间实现（不唯一）
print(signal.ss2tf(A, B, C, D))     # 逆向还原：[0, 3, 6] / [1, 0.8, 4]

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