根轨迹 Root Locus
根轨迹刻画增益 从 增至 时闭环极点在 s 平面上的迁移路径：一张图同时回答”系统何时失稳、增益取多大、动态有多快”，是经典控制里从分析走向设计的图解桥梁。
闭环极点随增益迁移
单位负反馈下，闭环特征方程为
时闭环极点就是开环极点； 时趋向开环零点，零点不够则奔向无穷远。于是开环传递函数 Transfer Function的零极点布局完全决定闭环极点的全部去向——这条迁移路径就是根轨迹。轨迹是否越过虚轴进入右半平面，直接给出使闭环稳定的增益范围。
相角条件与幅值条件
特征方程拆成两个条件：
- 相角条件（属于轨迹的充要判据）：
- 幅值条件（确定轨迹上一点的增益）：
相角条件不含 ——轨迹形状只由零极点的几何分布决定， 只是沿轨迹的参数。这是整个图解法的根基。
Evans 绘制法则
| 法则 | 内容 |
|---|---|
| 分支数 | 等于开环极点数 （设 ） |
| 端点 | 始于开环极点（），终于开环零点或沿渐近线趋于 |
| 对称性 | 关于实轴对称 |
| 实轴段 | 某段右侧的实零点与实极点总数为奇数，则该段属于轨迹 |
| 渐近线 | 条，角度 ，实轴交点 |
| 分离点 | 满足 ，即 的极值点 |
| 虚轴交点 | 令 或查 Routh 表，得临界增益 |
以 为例：三条分支从 出发；渐近线中心 、角度 与 ；两条复数分支沿渐近线折向右半平面，在 处穿过虚轴点 （Routh 表直接给出）。数值绘制只需对闭环多项式扫 求根：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# G(s)H(s) = 1/(s(s+1)(s+2))，特征方程 s^3 + 3s^2 + 2s + K = 0
poles = np.roots([1, 3, 2, 0]) # K=0：轨迹起点即开环极点
roots = np.array([np.roots([1, 3, 2, K]) # 每个 K 求闭环极点
for K in np.linspace(0, 20, 800)])
plt.figure(figsize=(6, 5))
plt.axhline(0, color="gray", lw=0.5) # 实轴
plt.axvline(0, color="gray", lw=0.5) # 虚轴：稳定边界
plt.plot(roots.real, roots.imag, ".", ms=1) # 根轨迹
plt.plot(poles.real, poles.imag, "rx", ms=10, label="open-loop poles")
plt.xlabel("Re(s)"); plt.ylabel("Im(s)")
plt.legend(); plt.tight_layout()
plt.savefig("root_locus.png", dpi=150)零极点对轨迹的牵引
极点是轨迹的源，零点是轨迹的汇：分支离开极点、奔向零点。由此得到牵引直觉：
- 加左半平面零点：把附近轨迹拉向左——增大阻尼、改善稳定裕度（PD 控制与超前补偿的本质）
- 加极点：把轨迹推向右——相位滞后，逼近失稳
- 原点极点 + 邻近零点（PI 结构）：抬高低频增益消除静差，而零极点对远处的轨迹形状几乎无影响
补偿器设计因此有清晰的几何图像：移动零极点就是在掰轨迹的走向。
用根轨迹做控制器设计
设计流程：
- 由性能指标换算期望闭环极点区域：超调 ↔ 等阻尼线（ 常数），调节时间 ↔ 等固有频率线，映射关系见时域响应 Time Response
- 看未补偿轨迹是否穿过该区域
- 不穿过则加补偿零极点，把主导极点掰进区域；沿轨迹读出对应 ，再复核稳态误差
PID 控制三个作用在此完全图解化：比例项沿轨迹滑动选取增益，积分项置原点极点消静差，微分项置左半平面零点增阻尼。根轨迹是单参数图解设计；若改用状态反馈，可在能控前提下任意放置全部极点——极点配置是其解析推广，自由度不同而目标一致。
训练动力学：学习率即增益
梯度下降迭代 在最优点附近线性化为 ，其中 为 Hessian。学习率 扮演增益 ：矩阵 的特征值 随 沿”轨迹”迁移，越出单位圆（离散系统的稳定边界）即震荡发散—— 过大导致训练爆掉，与根轨迹上增益越过临界值 完全同构。特征值位置决定收敛速率与振荡模式的直觉，在控制器整定与优化器调参两边通用。