状态反馈 $u=-Kx$ 直接改写闭环矩阵 $A-BK$，把极点摆到期望位置——这是状态空间设计相对频域方法的核心自由度，而「极点可任意配置 $⟺$ 系统能控」把系统结构与设计能力精确挂钩。

状态反馈与极点配置 Pole Placement

状态反馈律：u = −Kx

对 状态空间表示 State-Space 描述的系统 $\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx$，取线性状态反馈

$u=-Kx,K\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$

闭环变为 $\dot{x}=(A-BK)x$，动态完全由 $A-BK$ 的特征值（即闭环极点）决定。设计问题从「调节一个回路增益」升级为：给定期望极点集 $\{p_1,\dots ,p_n\}$（复极点须共轭成对），求增益 $K$。$n$ 个增益对应 $n$ 个极点坐标，设计自由度从频域的一维曲线扩展到整个复平面。

任意配置的充要条件：能控性

定理：$(A,B)$ 能控 $⟺$ 存在 $K$ 使 $A-BK$ 的特征值为任意指定的一组复数。

• 必要性来自 能控性与能观性 Controllability and Observability 中的 Kalman 分解：非能控子空间中的模态不受输入影响，任何 $K$ 都搬不动这些极点。不可控但稳定的系统仍可镇定（stabilizable）；不可控极点不稳定则无解。
• 单输入系统 $K$ 唯一（$n$ 个方程解 $n$ 个未知数）；多输入 $K$ 不唯一，剩余自由度可用于改善鲁棒性。

状态反馈只移动极点、不改变系统零点，也不能移动不可控模态——这正是传函设计里看不到的结构限制。

Ackermann 公式

单输入情形有闭式解。设期望特征多项式 $\phi (s)={\prod }_{i=1}^n(s-p_i)$，则

$K=\left[\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& 1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]}^{-1}\phi (A)$

能控矩阵可逆保证解存在唯一；Cayley–Hamilton 定理保证 $\phi (A)$ 可由 $A$ 的低次幂表出。

import numpy as np
 
A = np.array([[1.0, 1.0],
              [0.0, 2.0]])
B = np.array([[0.0], [1.0]])
 
# 期望闭环极点 -1±j → 特征多项式 s^2 + 2s + 2
phi = np.poly([-1 + 1j, -1 - 1j]).real          # [1, 2, 2]
 
n = A.shape[0]
Ctrb = np.hstack([np.linalg.matrix_power(A, i) @ B for i in range(n)])
 
# Horner 展开计算 phi(A)，系数从高次到低次
phi_A = np.zeros_like(A)
for c in phi:
    phi_A = phi_A @ A + c * np.eye(n)
 
# Ackermann 公式
e_n = np.zeros((1, n)); e_n[0, -1] = 1.0
K = e_n @ np.linalg.solve(Ctrb, phi_A)
print(K)                                   # K = [5, 5]
print(np.linalg.eigvals(A - B @ K))        # [-1.+1.j -1.-1.j]
# python-control 一行等价：K = control.acker(A, B, [-1+1j, -1-1j])

参考跟踪：前馈与积分增广

$u=-Kx$ 只管调节态，跟踪参考信号需 $u=-Kx+\bar{N}r$。前馈增益由闭环直流增益归一决定：

$\bar{N}=-{\left[C(A-BK{)}^{-1}B\right]}^{-1}$

前馈依赖模型精确性。要对阶跃参考与常值扰动实现无静差，更稳健的做法是积分增广：令 $x_I=\int (r-y)dt$ 并入状态，

$\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ {\dot{x}}_I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ -C& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ x_I\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]u,u=-Kx+k_I{x}_I$

增广系统能控的条件是 $(A,B)$ 能控且传函在 $s=0$ 处无零点。其作用与 PID 控制 中的积分项同源：内部模型抵消常值误差，模型失配下依然零稳态误差。

输出反馈、PID 与观测器

反馈形式	控制律	极点能力	前提
状态反馈	$u=-Kx$	$n$ 个极点任意配置	全状态可测 + 能控
静态输出反馈	$u=-Ky$	极点只能移到受限集合	一般不可任意配置
动态输出反馈	$u=H(s)(r-y)$	阶次升高后自由度增加	PID 属此类，低阶系统经验调参

PID 的成功依赖「低阶对象 + 结构先验」；高阶多变量系统中，静态输出反馈的极点配置至今没有一般解。状态反馈则假设 $x$ 全可测——不可测时用观测器重构 $\hat{x}$，以 $u=-K\hat{x}$ 闭环。分离原理保证 $K$ 与观测器增益可独立设计；观测器极点配置（配置 $A-LC$）是本问题的对偶，通常取比调节极点快 3–5 倍，噪声场景下则交给 卡尔曼滤波 Kalman Filter 最优估计。

极点选择的代价与通往 LQR

经验法则：取主导二阶极点对，阻尼 $\zeta \approx 0.7$，按调节时间 $t_s\approx 4/(\zeta {\omega }_n)$ 定 ${\omega }_n$。但极点越快，$\Vert K\Vert$ 越大：执行器饱和、测量噪声放大、对模型误差敏感——「快」从来不是免费的。

手工摆极点缺乏代价意识。把速度与控制能量的权衡显式化，就走向 最优控制 Optimal Control：LQR 最小化 $\int (x^{\mathsf{T}}Qx+u^{\mathsf{T}}Ru)dt$，解代数 Riccati 方程得 $K=R^{-1}{B}^{\mathsf{T}}P$。不再指定极点，而是指定代价，极点成为代价的副产品。

策略即增益

换个视角：$u=-Kx$ 本身就是一个线性策略 $\pi (x)$。极点配置与 LQR 是模型已知时的解析解；当模型未知、非线性或代价复杂时，强化学习直接在策略空间搜索 $K$——策略梯度可视为对 Ackermann 公式的学习式替代，而 Riccati 方程正是线性二次情形下的 Bellman 方程。这条控制与学习的对应关系在 控制理论与强化学习 Control and Reinforcement Learning 中展开。