频域分析 Frequency Response

频域分析把 LTI 系统对正弦输入的稳态响应用 $G(j\omega )$ 的幅值与相位刻画，凭 Bode 图与 Nyquist 判据从开环频率特性直接预判闭环稳定性与动态性能——不解微分方程，且可使用实测数据。

频率响应与正弦稳态

对稳定的 传递函数 Transfer Function $G(s)$，输入 $u=A\sin \omega t$ 时瞬态衰减后进入正弦稳态：

$y_{ss}(t)=A|G(j\omega )|\sin (\omega t+\angle G(j\omega ))$

原理：$e^{j\omega t}$ 是 LTI 系统的本征函数，$G(j\omega )$ 是对应本征值——即传函在虚轴 $s=j\omega$ 上的限制。系统因此等价于一台按频率选择性放大与相移的滤波器，全部动态信息压缩进幅频 $|G(j\omega )|$ 与相频 $\angle G(j\omega )$ 两条曲线。

Bode 图渐近线画法

Bode 图横轴取 $\lg \omega$，幅值纵轴取 dB。任何有理传函都可分解为基本因子的乘积，各因子贡献独立的渐近线段：

因子	幅频渐近线	相位
常数 $K$	水平线 $20\lg K$	$0°$
积分 $(j\omega {)}^{-1}$	$-20$ dB/dec 斜线，$\omega =1$ 处过 0 dB	恒 $-90°$
一阶 $(1+j\omega /{\omega }_0{)}^{-1}$	${\omega }_0$ 前 0 dB、后 $-20$ dB/dec 转折	$0.1{\omega }_0\to 10{\omega }_0$ 从 $0°$ 滑向 $-90°$，${\omega }_0$ 处 $-45°$
二阶 $[(j\omega /{\omega }_n{)}^2+2\zeta (j\omega /{\omega }_n)+1{]}^{-1}$	转折后 $-40$ dB/dec	$\zeta$ 越小过渡越陡

画法：按转折频率从小到大排序，斜率逐段累加。一阶渐近线最大误差 3 dB（恰在 ${\omega }_0$）；$\zeta <0.7$ 的二阶谐振峰需按 $\zeta$ 手工修正。

Nyquist 判据

对 反馈控制 Feedback 回路，将开环 $L(s)=G(s)K(s)$ 的 $L(j\omega )$（$\omega$ 取遍 $-\infty \to +\infty$）画成极坐标曲线，Nyquist 判据由包围数断闭环稳定性：

$Z=N+P$

$N$ 为曲线对 $-1$ 点的净顺时针包围数，$P$ 为开环右半平面极点数，$Z$ 为闭环右半平面极点数，稳定当且仅当 $Z=0$。其价值：

• 开环信息推闭环结论，开环本身允许不稳定
• 能处理纯时滞 $e^{-sT}$——超越函数使 系统稳定性 Stability 的 Routh 代数判据失效
• $L(j\omega )$ 可由正弦扫频实测获得，不依赖精确模型

增益裕度与相位裕度

• Gain Margin：相位到达 $-180°$ 的频率 ${\omega }_{180}$ 处 $GM=1/|L(j{\omega }_{180})|$——增益再放大多少倍才失稳
• Phase Margin：幅值交越 0 dB 的频率 ${\omega }_c$ 处 $PM=180°+\angle L(j{\omega }_c)$——相位再滞后多少度才失稳

经验值：$PM\in [30°,60°]$、$GM\ge 2$；阻尼近似 $\zeta \approx PM/100$，故 $PM=20°$ 意味着 $\zeta \approx 0.2$、超调约 50%。

import numpy as np
from scipy import signal
 
# 开环 L(s) = 100 / (s(s+2)(s+10))
L = signal.TransferFunction([100], [1, 12, 20, 0])
w, mag, phase = signal.bode(L, np.logspace(-1, 2, 600))
 
i180 = np.argmin(np.abs(phase + 180))  # 相位交界频率
GM = 10 ** (-mag[i180] / 20)           # 增益裕度（倍数）
ic = np.argmin(np.abs(mag))            # 幅值交界频率
PM = 180 + phase[ic]                   # 相位裕度（度）
print(f"GM = {GM:.2f}, PM = {PM:.1f}°")  # GM = 2.40, PM = 20.0°

裕度如此之小，阶跃响应必然强振荡——时域响应 Time Response 中欠阻尼现象的频域根源。

带宽与响应速度

闭环带宽 ${\omega }_B$（闭环幅值下降 3 dB 处）与 ${\omega }_c$ 同量级，直接决定响应速度：

• 经验律 $t_r{\omega }_B\approx 2.2$（一阶系统精确成立）：带宽翻倍，上升时间减半
• 带宽上限来自三处：测量噪声集中于高频，带宽越宽放大越多；执行器功率有限；未建模结构谐振会被高频激励激发
• 纯时滞 $e^{-j\omega T}$ 幅值不变、相位以 $-\omega T$ 线性侵蚀，$PM$ 预算锁死 ${\omega }_c$ 上限——系统「快不起来」的物理根源

根轨迹 Root Locus 回答「增益如何搬移闭环极点」，频域法回答「带宽与稳定裕度如何折衷」：同一问题的两个投影，带宽大致由主导极点模长决定。

频域视角看辨识与学习

• 系统辨识：对未知对象注入正弦扫频，稳态幅相序列就是非参数频率响应，再拟合参数模型——模型基 RL 的动力学学习同源
• EMA 即低通滤波器：$y_k=\alpha x_k+(1-\alpha )y_{k-1}$ 截止角频率约为 $\alpha$，Adam 与权重平均都在保留低频趋势、滤除高频噪声
• Spectral bias：NTK 视角下大网络训练动力学等效于对目标函数频谱的低通滤波，低频分量先收敛——与控制器带宽限制噪声在结构上同构
• 卡尔曼滤波 Kalman Filter 是时变最优估计器，本质仍是在频域意义上分离信号谱与噪声谱的随机化权衡