状态空间表示 State-Space

状态空间表示把系统从「黑箱 I/O」升级为「白箱内部结构」：一阶矩阵微分方程同时刻画状态演化与输出观测，是现代控制的总框架，也是 RNN 与 SSM/Mamba 的数学原型。

内部描述：状态方程

传递函数 Transfer Function 只记录输入–输出关系，内部结构不可见；状态空间回到常微分方程的一阶形式，把整个系统压缩成一对矩阵方程：

$\overset{x}{˙} = A x + B u, y = C x + D u$

符号	维度	角色
$x$	$n \times 1$	状态向量：概括系统全部历史的最小变量组
$u$ , $y$	$m \times 1$ , $p \times 1$	输入，输出
$A$	$n \times n$	系统矩阵：自由演化，特征值即极点
$B$	$n \times m$	输入如何驱动状态
$C$	$p \times n$	状态如何映射为输出
$D$	$p \times m$	输入直通输出

状态选取： $n$ 阶 ODE 取相变量 ${x, \overset{x}{˙}, \dots, x^{(n - 1)}}$ ；物理系统取储能变量（LC 网络的电感电流、电容电压）。选取不唯一——任意可逆变换 $z = T x$ 给出相似实现 $(T A T^{- 1}, TB, C T^{- 1}, D)$ ，但特征值 $λ (A)$ 不变，它们就是系统极点。

解：矩阵指数

齐次方程的解是矩阵指数（matrix exponential）：

$e^{A t} = I + A t + \frac{A ^{2} t ^{2}}{2 !} + \dots, x (t) = e^{A t} x_{0}$

受迫解由常数变易法给出：

$x (t) = e^{A t} x_{0} + \int_{0}^{t} e^{A (t - τ)} B u (τ) d τ$

$e^{A t}$ 又称状态转移矩阵 $Φ (t)$ ：把 $t_{0}$ 时刻的状态线性搬运到 $t$ 。若 $A$ 可对角化 $A = V Λ V^{- 1}$ ，则 $e^{A t} = V e^{Λ t} V^{- 1}$ ——每个特征方向独立地指数演化，极点实部直接决定收敛或发散，稳定判据与时域指标在此同源。

离散化

采样周期 $T_{s}$ 、零阶保持（ZOH）下的精确离散化：

$x_{k + 1} = A_{d} x_{k} + B_{d} u_{k}, A_{d} = e^{A T_{s}}, B_{d} = \int_{0}^{T_{s}} e^{A τ} d τ B$

特征值映射 $λ \mapsto e^{λ T_{s}}$ ，即 s 平面到 z 平面（见离散控制系统 Digital Control）。

import numpy as np
from scipy.linalg import expm
 
A = np.array([[0, 1], [-2, -3]])    # x'' + 3x' + 2x = u
B = np.array([[0.0], [1.0]])
Ts = 0.1
 
Ad = expm(A * Ts)                   # ZOH 精确离散化
Bd = np.linalg.solve(A, (Ad - np.eye(2)) @ B)
 
x = np.array([[1.0], [0.0]])        # 初值 [x0, x0']
for _ in range(50):                 # 单位阶跃输入，共 5 秒
    x = Ad @ x + Bd                 # 状态递推
print(x.ravel())                    # ≈ [0.5, 0]，稳态 x = u/2

这条递推式就是 RNN 的骨架： $h_{k + 1} = tanh (W h_{k} + U x_{k})$ 是输入驱动的非线性离散状态空间系统，hidden state 即状态向量。线性近似下谱半径 $ρ (A) < 1$ 才不发散——梯度消失/爆炸与极点位置决定收敛速度，是同一数学事实。

与传递函数互转

同一 LTI 系统的两种描述可互相转换：

$G (s) = C (s I - A)^{- 1} B + D$

$(s I - A)^{- 1}$ 的极点恰为 $A$ 的特征值，但 $G (s)$ 只保留能控且能观的模态。反向实现（realization）不唯一：同一 $G (s)$ 对应无穷组 $(A, B, C, D)$ ，阶数最低的最小实现要求 $(A, B)$ 能控、 $(A, C)$ 能观——判定见能控性与能观性 Controllability and Observability。

	传递函数	状态空间
视角	外部 I/O	内部结构
适用	SISO、LTI	MIMO、时变、非线性均可推广
初始条件	默认为零	显式携带 $x_{0}$
结构分析	无	能控性、能观性、Kalman 分解

现代控制的总框架

经典频域方法在 MIMO 与多约束下力不从心，状态空间把设计变成线性代数问题：

状态反馈 $u = - K x$ ：直接移动闭环极点（状态反馈与极点配置 Pole Placement）
状态不可全测时用观测器重构，噪声情形的最优观测器即卡尔曼滤波 Kalman Filter
LQR 在此框架下解 Riccati 方程得最优增益；Lyapunov 方法把稳定性判据推广到非线性状态方程

SSM 与 Mamba：序列建模中的状态空间

S4/Mamba 一脉的 SSM（state-space model）直接拿线性状态方程当序列模型骨架：

$h^{'} (t) = A h (t) + B x (t), y (t) = C h (t)$

双计算路径：训练时用卷积形式（核为 $C e^{A t} B$ 的采样，对应传递函数）沿整个序列并行；推理时用递推形式（对应状态方程）逐步展开，每 token 常数开销
HiPPO 初始化：特殊设计 $A$ 使 $h$ 高保真压缩全部历史——本质是状态向量的记忆容量问题
Mamba 的选择性：让 $B, C$ 随输入变化，等效时变状态空间；输入调制系统参数在控制中并不陌生——反馈线性化后的系统正是输入依赖的状态方程

控制理论早就算清了这类系统的能控、能观与稳定性；SSM 的贡献是把它做成了可大规模训练的序列架构。

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