QR 分解把矩阵拆成正交矩阵乘上三角 ：把一组向量「先摆正、再记录摆法」。它是 Gram–Schmidt 正交化的矩阵形态，也是最小二乘与特征值迭代的数值引擎。
定义：正交化的矩阵形态
来源正是正交与正交基的 Gram–Schmidt 流程：对 的列逐个减去已生成方向上的投影，得到的正交列装进 ，投影系数（正交基展开系数）装进 。列满秩时分解唯一。
Gram–Schmidt 数值性质差（连续减投影丢失正交性），实践用 Householder 反射：每步用一个镜面反射把一列「拍」到坐标轴上，正交性稳定保持；Givens 旋转则适合稀疏矩阵，只转需要动的平面。这是「数学上等价、数值上分层」的经典案例。
主战场：最小二乘与 QR 迭代
最小二乘是主战场。超定方程 （ 列满秩）取法方程 ，用 化简：
上三角回代即解，绕开法方程把条件数平方的坑（详见伪逆与最小二乘）。
QR 迭代求全谱特征值：反复 、，配合位移收敛到对角（特征值落座）——工业级特征值求解器的内核，衔接特征值与特征向量。