最速降线

最速降线问题：在重力场中找出 A 到 B 用时最短的路径，最终解为摆线（旋轮线）。推导路径：机械能守恒 → 时间泛函 → 欧拉-拉格朗日第一积分 → 微分方程 → 参数代换。

建立问题：时间泛函

设起点 $A=(0,0)$ ，终点 $B=(x_1,y_1)$ ，向下为 $y$ 轴正方向。质点从静止下滑，只有重力做功，由机械能守恒：

$$\frac{1}{2}m{v}^2=mgy\Rightarrow v=\sqrt{2gy}$$

弧长微元：

$$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx,y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$$

下滑总时间：

$$T=\int \frac{ds}{v}={\int }_0^{x_1}\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}dx$$

要最小化的泛函：

$$J[y]={\int }_0^{x_1}F(x,y,y^{\prime })dx$$

其中

$$F(x,y,y^{\prime })=\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}$$

---

欧拉–拉格朗日方程

$F$ 不显含 $x$ ，可用第一积分（简化版欧拉方程）：

$$F-y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=C$$

$C$ 为常数。

计算 $\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}$

$$F=\frac{1}{\sqrt{2g}}\cdot \frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{y}}$$ $$\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=\frac{1}{\sqrt{2g}}\cdot \frac{1}{\sqrt{y}}\cdot \frac{1}{2}(1+y^{\prime 2}{)}^{-1/2}\cdot 2y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2g}}\cdot \frac{y^{\prime }}{\sqrt{y}\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$$

代入第一积分

$$F-y^{\prime }\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}-y^{\prime }\cdot \frac{y^{\prime }}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C$$

通分：

$$\frac{(1+y^{\prime 2})-y^{\prime 2}}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C$$

化简：

$$\frac{1}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C$$

两边平方并整理：

$$y(1+y^{\prime 2})=\frac{1}{2g{C}^2}$$

令常数 $2a=\frac{1}{g{C}^2}$ ，得到微分方程：

$$\boxed{y(1+y^{\prime 2})=2a}$$

---

解微分方程：得到摆线

解出 $y^{\prime }$

$$1+(y^{\prime }{)}^2=\frac{2a}{y}\Rightarrow (y^{\prime }{)}^2=\frac{2a}{y}-1=\frac{2a-y}{y}$$ $$\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{2a-y}{y}}$$

分离变量：

$$dx=\sqrt{\frac{y}{2a-y}}dy$$

参数代换

令 $y=a(1-\cos \theta )$ ，则 $dy=a\sin \theta d\theta$ 。代入：

$$dx=\sqrt{\frac{a(1-\cos \theta )}{a(1+\cos \theta )}}\cdot a\sin \theta d\theta =\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}\cdot a\sin \theta d\theta$$

利用三角恒等式 $\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }={\tan }^2\frac{\theta }{2}$ ：

$$dx=\tan \frac{\theta }{2}\cdot a\sin \theta d\theta =a(1-\cos \theta )d\theta$$

积分

$$x=\int a(1-\cos \theta )d\theta =a(\theta -\sin \theta )+C$$

由起点 $(0,0)$ 对应 $\theta =0$ ，得 $C=0$ 。

---

最终结论：最速降线是摆线

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x=a(\theta -\sin \theta )\\ y=a(1-\cos \theta )\end{array}}$$

这正是摆线（旋轮线）的参数方程。

---

摆线作为最速降线的物理意义：质点在 A 处获得的”垂直速度分量增长”恰好补偿了路径变长的代价，使到达任一点的总时间最小。这与等时性（无论从何处释放，到最低点用时相同）共同构成了摆线最经典的两个性质。