泛函

泛函是从函数空间到数域的映射，把”以函数为变量求极值”的问题统一为变分法的研究对象。

核心定义

类别	输入	输出	例子
函数	数	数	$f(x)=x^2$
泛函	函数	数	$J[y]=\int \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$
算子	函数	函数	$\frac{d}{dx}$、积分

记号上用方括号 $J[y]$ 区分泛函与普通函数 $f(x)$。

经典例子

曲线长度。平面曲线 $y=y(x)$ 从 $x_0$ 到 $x_1$ 的长度：

$$L[y]={\int }_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+(y^{\prime }(x){)}^2}dx$$

最速降线（Brachistochrone）。重力场中质点从 A 到 B 的下滑时间随路径 $y(x)$ 而变，变分法的目标是找出使 $T[y]$ 最小的曲线。

定积分。$J[f]={\int }_a^{b}f(x)dx$ 把被积函数映射为一个数。

与变分法的关系

普通微积分对自变量 $x$ 求极值，变分法对函数 $y(x)$ 求极值。求解流程：对泛函取变分 $\delta J=0$，得到欧拉-拉格朗日方程

$$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=0$$

解此方程即得极值函数。

线性泛函

满足

$$J[af+bg]=aJ[f]+bJ[g]$$

的泛函称为线性泛函，是泛函分析、量子力学（态向量上的期望值）、信号处理（内积、傅里叶变换）的基石。