正交与正交基

正交是内积空间的「垂直」： $⟨ u, v ⟩ = 0$ 。正交基让向量分解各分量互不干扰，是傅里叶分析、QR 分解与量子测量共同的骨架。

定义

内积空间中两向量正交（orthogonal）当且仅当：

⟨ u, v ⟩ = 0

正交基：两两正交的基；若每个基向量都是单位长度，称标准正交基（orthonormal basis）
$R^{n}$ 的标准基 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 是最简单的标准正交基；任意基均可经 Gram–Schmidt 正交化改造为标准正交基

性质	收益
坐标解耦	$x = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ ，各系数独立计算，改动一个分量不影响其余
范数分解	$∥ x ∥^{2} = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩^{2}$ （Parseval 恒等式）
投影最简	向子空间的最近点 = 各正交基分量之和
变换保形	正交矩阵（标准正交基作列）保长度保角度，见欧氏空间

子空间 $W$ 的正交补 $W^{⊥} = {v : ⟨ v, w ⟩ = 0, \forall w \in W}$ 。任意向量唯一分解：

x = \in W proj_{W} x + \in W^{⊥} proj_{W^{⊥}} x

这是最小二乘法（残差与列空间正交）和PCA（主成分与残差正交）的共同根源。

在积分内积 $⟨ f, g ⟩ = \int f g d t$ 下， $sin$ 与 $cos$ 互正交——傅里叶级数就是函数空间的标准正交基分解。正交多项式（Legendre、Chebyshev）同理，见内积。