Pearson相关系数

Pearson相关系数衡量两个连续变量之间的线性关系强度和方向，取值范围 $[-1,1]$。

定义

$r=\frac{\text{cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y}{)}^2}}$

数学性质

性质	说明
对称性	$r_{XY}=r_{YX}$
平移不变性	加常数不影响 $r$
尺度缩放	乘正数不影响 $r$ 符号
取值范围	$r\in [-1,1]$

取值解释

范围	相关性强度
$\Vert r\Vert \approx 1$	强线性相关
$0.5<\Vert r\Vert <0.8$	中等相关
$\Vert r\Vert <0.3$	弱相关或无相关

Python 实现

import numpy as np
from scipy import stats
 
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 4, 5, 4, 5])
r, p_value = stats.pearsonr(x, y)

局限性

• 仅衡量线性关系
• 对异常值敏感
• 相关不意味着因果