泰勒展开

泰勒展开用多项式近似函数在某点附近的行为，是数值计算和优化的基础工具。

公式

$f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

其中 $f^{(n)}(a)$ 是 $f$ 在 $a$ 处的 $n$ 阶导数。

麦克劳林展开

当 $a=0$ 时的特例：

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots$

常用展开

函数	展开（在 $x=0$）
$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots$
$\sin x$	$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
$\cos x$	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
$\ln (1+x)$	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$

应用场景

领域	应用
深度学习	梯度下降、牛顿法
数值计算	函数近似、误差估计
物理学	微扰理论
工程学	系统线性化