爱因斯坦求和约定：一句话搞定繁琐求和，看完就会用

爱因斯坦求和约定：同一项中重复出现的指标默认对该指标取值范围求和。一句话替代成片的 $\sum$ 符号，是张量运算与 einsum 的语义基础。

哑标 vs 自由指标

类别	出现次数	含义	是否求和
哑标	同项中 2 次	求和指标，可任意换字母	是
自由指标	同项中 1 次	决定结果维度，等式两侧需一致	否

三个常用例子

向量点积。$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}={\sum }_i{a}_i{b}_i$ 简记为 $a_i{b}_i$。$i$ 是哑标，结果是标量。

矩阵乘法。$C_{ij}={\sum }_k{A}_{ik}{B}_{kj}$ 简记为 $C_{ij}=A_{ik}{B}_{kj}$。$k$ 哑标，$i,j$ 自由指标。

张量收缩。$a_i{b}_i{c}_j$ 中，$i$ 哑标先求和得 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$，$j$ 自由指标保留，结果为 $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})c_j$。

两条避坑规则

• 同一指标在一项中至多出现 2 次。$a_i{b}_i{c}_i$ 非法，求和路径有歧义。
• 等式两侧自由指标集合必须一致。$a_i=b_j$ 非法，维度不匹配。

与 einsum 的对应

NumPy/PyTorch 的 einsum 是该约定的代码化表达，字符串左边写输入指标，右边写输出指标：

np.einsum('i,i->', a, b)        # 点积
np.einsum('ij,jk->ik', A, B)    # 矩阵乘
np.einsum('bij,bjk->bik', X, Y) # 批量矩阵乘
np.einsum('ij->ji', A)          # 转置

记一条核心规则即可：重复指标缩并，单次指标保留。