统一符号规范，厘清 Python 中 */@/dot/matmul 的行为差异，避免乘法运算的隐性 bug。

维度定义

概念	维度	符号	示例 shape
标量	0维	$x$	无
向量	1维	$a$	$(n,)$
矩阵	2维	$A$	$(m, n)$
张量	n维	$X$	$(d_{1}, ..., d_{n})$

统一符号约定

运算	符号	禁止混用
哈达玛积	$⊙$	$\times$ / $*$ / $\cdot$
点积/内积	$\cdot$	$\times$ / $⊙$
叉积	$\times$	$\cdot$ / $\otimes$
矩阵乘	无符号或 $\cdot$	$\times$ / $⊙$
张量积	$\otimes$	$\times$ / $\cdot$

向量运算

运算	数学定义	Python	输出
哈达玛积	$a ⊙ b$	`a * b`	向量
点积	$a \cdot b = \sum a_{i} b_{i}$	`a @ b`	标量
叉积	$a \times b$ （仅3D）	`np.cross(a, b)`	3D向量
外积	$a \otimes b$	`np.outer(a, b)`	矩阵

矩阵运算

运算	数学定义	Python	维度约束
哈达玛积	$(A ⊙ B)_{ij} = A_{ij} B_{ij}$	`A * B`	shape 相同
矩阵乘	$(AB)_{ij} = \sum_{k} A_{ik} B_{kj}$	`A @ B`	前列=后行
克罗内克积	$A \otimes B$	`np.kron(A, B)`	无约束

高维张量

批量矩阵乘法

$X \in R^{B \times m \times n}$ ， $Y \in R^{B \times n \times p}$ ：

Z = X @ Y  # shape: (B, m, p)

einsum 万能工具

运算	einsum
点积	`'i,i->', a, b`
矩阵乘	`'ij,jk->ik', A, B`
批量矩阵乘	`'bij,bjk->bik', X, Y`
转置	`'ij->ji', A`

高频踩坑

坑点	避坑铁律
`*` 当矩阵乘	`*` 永远是哈达玛积，矩阵乘用 `@`
`np.dot` 与 `@` 混淆	生产环境一律用 `@`/`matmul`
一维数组广播	显式定义为 `(n,1)` 或 `(1,n)`
外积术语混用	叉积用 `cross`，张量积用 `outer`/`kron`

记忆口诀

符号： $⊙$ 元素乘， $\cdot$ 点积缩并， $\times$ 3D 叉积， $\otimes$ 张量升维
Python：* 永远元素乘，@ 才是正经数学乘
维度：哈达玛积维度不变，点积矩阵乘缩并降维，叉积仅限 3D，张量积必升维