拉格朗日方程

拉格朗日方程（Euler–Lagrange 方程）是力学系统的运动方程，由标量 Lagrange 量通过变分原理导出，以能量取代力、以广义坐标取代约束，是分析力学的第一块基石。

方程表述

$N$ 个自由度系统取广义坐标 $q = (q_{1}, \dots, q_{N})$ ，Lagrange 量 $L (q, \dot{q}, t) = T - V$ （动能减势能），运动方程为：

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}} = \frac{\partial L}{\partial q _{i}}, i = 1, \dots, N

$N$ 个二阶方程。定义广义动量 $p_{i} = \partial L / \partial \overset{q}{˙}_{i}$ 、广义力 $Q_{i} = \partial L / \partial q_{i}$ ，方程读作「广义动量的变化率 = 广义力」。

真实轨迹使作用量取驻值：

δ S = δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t = 0

端点固定（ $δ q (t_{1}) = δ q (t_{2}) = 0$ ），分部积分：

δ S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} i \sum (\frac{\partial L}{\partial q _{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}) δ q_{i} d t

由变分法基本引理， $δ q_{i}$ 任意，故括号为零——即 Euler–Lagrange 方程。这是变分法在物理中的原型应用，与最速降线同一数学骨架。

取 $θ$ 为广义坐标， $m$ 摆长 $l$ ：

L = \frac{1}{2} m l^{2} \dot{θ}^{2} + m g l cos θ \Rightarrow m l^{2} \ddot{θ} = - m g l sin θ

约束（摆杆张力）完全不出现——对比牛顿力学需解出张力，此为 Lagrange 方法最直接的收益。小角度下 $\ddot{θ} + \frac{g}{l} θ = 0$ ，回到谐振子。

Legendre 变换 $H = \sum_{i} p_{i} \overset{q}{˙}_{i} - L$ 把 $(q, \dot{q})$ 换成 $(q, p)$ ，二阶方程降为一阶正则方程组：

Lagrange （二阶，位形空间） Legendre 变换 Hamilton （一阶，相空间）

链条延续到统计力学：哈密顿方程 → 刘维尔方程。