哈密顿方程

哈密顿方程（Hamilton’s equations）将力学系统改写为相空间上的一阶ODE 组，与 Lagrange 力学等价却结构更对称，是分析力学、辛几何与经典统计力学的共同起点。

方程表述

广义坐标 $\mathbf{q}=(q_1,\dots ,q_N)$ 与共轭动量 $\mathbf{p}=(p_1,\dots ,p_N)$ 张成 $2N$ 维相空间，Hamilton 量 $H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$ 给出正则方程：

$${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},{\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i},i=1,\dots ,N$$

$2N$ 个一阶方程等价于 Lagrange 方程的 $N$ 个二阶方程。典型构型：

$$H=\underset{\text{动能}}{\underbrace{\sum _i\frac{p_i^2}{2m_i}}}+V(\mathbf{q})$$

此时 ${\dot{q}}_i=p_i/m_i$，${\dot{p}}_i=-\partial V/\partial q_i$，还原牛顿第二定律。

推导：Legendre 变换

从 Lagrange 量 $L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$ 出发，定义共轭动量：

$$p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$$

Hamilton 量是 $L$ 关于速度的 Legendre 变换——把速度变量换成动量变量：

$$H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)=\sum _i{p}_i{\dot{q}}_i-L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$$

代入 $L$ 的 Euler–Lagrange 方程 $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial L}{\partial q_i}$，微分 $H$ 并整理即得正则方程。Legendre 变换保证了这是一次无损的变量替换（Hessian ${\partial }^{2}L/\partial {\dot{q}}_i\partial {\dot{q}}_j$ 非退化时可逆）。

基本性质

性质	内容
能量守恒	$H$ 不显含 $t$ 时 $\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}=0$，$H$ 即能量
辛结构	流保辛形式 $\omega ={\sum }_{i}d{q}_i\wedge d{p}_i$，从而保相体积
时间反演对称	$\mathbf{p}\to -\mathbf{p}$、$t\to -t$ 下不变，微观不可逆性非其所有
相空间一阶流	轨迹由初值唯一确定，是 $2N$ 维相空间中的定常流

辛结构保体积这一条，正是 刘维尔方程 与刘维尔定理的几何根源。

示例：一维谐振子

$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{q}^2\Rightarrow \dot{q}=\frac{p}{m},\dot{p}=-kq$$

相轨迹为椭圆族 $H=E$：方程线性可解 $q(t)=A\cos (\omega t+\phi )$，$\omega =\sqrt{k/m}$。等能面是闭合曲线——最直观的保相体积图像。

意义与延伸

方向	内容
刘维尔方程	相空间密度的演化方程，直接建立在正则方程之上
正则量子化	$q,p$ 提升为算符，Poisson 括号对应 $[\hat{q},\hat{p}]=i\hslash$，$H$ 生成 Schrödinger 方程
辛几何	正则变换 = 辛同胚；Hamilton 力学是辛流形上的几何学
数值积分	保辛结构的 symplectic integrator 长期守恒性优于通用方法
最优控制	Pontryagin 极小值原理的必要条件呈 Hamilton 正则方程形式

相关笔记

• 变分法 — Hamilton 原理 $\delta \int Ldt=0$ 是等价的变分出发点
• 常微分方程 — 正则方程即相空间上的一阶 ODE 系统
• 刘维尔方程 — 密度层面的演化