相关性

定义

Pearson相关系数（Pearson Correlation Coefficient），又称皮尔逊积矩相关系数，是衡量两个连续变量$X$和$Y$之间线性关系强度和方向的统计量，取值范围为$[-1, 1]$。其定义为： $$ r = \frac{\text{cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2}} $$ 其中：

• $\text{cov}(X, Y)$为协方差
• $\sigma_X, \sigma_Y$为标准差
• $\bar{X}, \bar{Y}$为均值

发展历史

由英国统计学家卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）在1895年提出，基于弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton）的回归分析理论发展而来。Pearson相关系数成为现代统计学中相关性分析的基础工具之一。

数学原理

协方差与标准化

Pearson系数的核心思想是通过协方差衡量变量变化方向的一致性，再通过标准差标准化消除量纲影响。其数学性质包括：

1. *对称性