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马氏距离

马氏距离

定义

马氏距离（Mahalanobis Distance）是由印度统计学家P. C. Mahalanobis在1936年提出的[[多元统计分析]]方法。它是一种基于数据分布特性的距离度量，能够有效考虑特征之间的相关性。数学上，给定一个均值向量为$\mu$、协方差矩阵为$\Sigma$的分布，样本点$x$的马氏距离定义为：

$$D_M(x) = \sqrt{(x - \mu)^T \Sigma^{-1} (x - \mu)}$$

发展历史

马氏距离最初是为了解决[[农业实验]]中的分类问题而提出的。随着计算机技术的发展，它在模式识别、机器学习等领域得到广泛应用。近年来，随着高维数据分析需求的增长，马氏距离的变体和改进方法不断涌现。

原理介绍

与传统欧氏距离的对比

与欧氏距离不同，马氏距离具有以下特性：

  1. 尺度不变性：不受特征量纲影响
  2. 相关性考虑：通过协方差矩阵捕捉特征间相关性
  3. 分布感知：距离计算考虑了数据的整体分布

几何解释

在几何上，马氏距离相当于先将数据通过$\Sigma^{-1/2}$进行线性变换，使变换后的数据协方差矩阵为单位矩阵，再计算欧氏距离。

适用场景

马氏距离特别适用于：

  • [[异常检测]]：识别偏离整体分布的样本
  • [[分类算法]]：如Fisher线性判别分析
  • [[聚类分析]]：考虑特征相关性的聚类
  • [[图像处理]]：纹理分析、目标识别

使用方法

计算步骤

  1. 计算数据集的均值向量$\mu$
  2. 计算协方差矩阵$\Sigma$
  3. 对每个样本$x$应用马氏距离公式

Python实现示例

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import numpy as np
from scipy.linalg import inv

def mahalanobis_distance(x, mu, sigma):
    diff = x - mu
    return np.sqrt(diff.T @ inv(sigma) @ diff)

# 示例数据
data = np.random.multivariate_normal(mean=[0,0], cov=[[1,0.5],[0.5,1]], size=100)
mu = np.mean(data, axis=0)
sigma = np.cov(data, rowvar=False)

# 计算第一个样本的马氏距离
distance = mahalanobis_distance(data[0], mu, sigma)

经验与技巧

  1. 协方差矩阵估计：小样本情况下，可使用收缩估计或正则化方法
  2. 数值稳定性：协方差矩阵求逆前建议检查条件数
  3. 高维问题：当维度大于样本量时，考虑[[降维技术]]或稀疏估计

最新进展

近年来马氏距离的研究方向包括：

  1. 鲁棒马氏距离：针对异常值敏感的改进方法
  2. 深度马氏距离：结合深度学习的表示学习方法
  3. 流形学习：在非线性流形上的推广

相关资源

总结

马氏距离作为一种考虑数据分布特性的距离度量，在诸多领域展现出独特优势。随着大数据和深度学习的发展，其变体和扩展方法将继续发挥重要作用。

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