调和平均数

调和平均数（Harmonic Mean） 是一种用于计算一组数值的平均值的统计方法，特别适用于处理比率或速率相关的数据。调和平均数强调的是数值的倒数关系，因此它对较小的值更为敏感。

调和平均数的定义

对于一组正数 $x_1, x_2, \dots, x_n$，调和平均数 ( H ) 定义为这些数值的倒数的算术平均数的倒数。公式如下：

$$ H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}} $$

其中：

• ( n ) 是数值的个数，
• ( x_i ) 是第 ( i ) 个数值。

调和平均数的性质

1. 对较小值敏感：调和平均数受较小值的影响更大，因为较小值的倒数较大，从而在计算中占更大的权重。
2. 适用范围：调和平均数常用于计算比率或速率的平均值，例如平均速度、平均完成时间等。
3. 与其他平均数的关系：对于同一组正数，调和平均数 ≤ [[几何平均数]] ≤ 算术平均数。

调和平均数的应用示例

示例 1：计算平均速度

假设一辆车以 60 km/h 的速度行驶了一段距离，又以 40 km/h 的速度行驶了另一段距离。如果两段距离相等，则平均速度不是简单的算术平均数$\frac{60 + 40}{2} = 50 km/h$，而是调和平均数：

$$ H = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} = \frac{2}{\frac{2}{120} + \frac{3}{120}} = \frac{2}{\frac{5}{120}} = \frac{2 \times 120}{5} = 48 \text{ km/h} $$

示例 2：F1 分数

在分类任务中，F1 分数是精确率（Precision）和召回率（Recall）的调和平均数：

$$ F1 = \frac{2}{\frac{1}{\text{Precision}} + \frac{1}{\text{Recall}}} = 2 \times \frac{\text{Precision} \times \text{Recall}}{\text{Precision} + \text{Recall}} $$

总结

调和平均数是一种特殊的平均数，适用于处理比率或速率相关的数据，尤其在需要强调较小值的情况下非常有用。