张芷铭的个人博客微分公式
微分是高等数学中研究函数变化率的核心工具。
1. 基本求导公式
| 函数 | 导数 |
|---|---|
| $c$ (常数) | $0$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln(a)$ |
| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\log_a(x)$ | $\frac{1}{x \ln(a)}$ |
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ |
| $\tan(x)$ | $\sec^2(x)$ |
| $\cot(x)$ | $-\csc^2(x)$ |
| $\arcsin(x)$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan(x)$ | $\frac{1}{1+x^2}$ |
2. 求导法则
- 常数与函数相乘法则： $[cf(x)]’ = cf’(x)$
- 和差法则： $[f(x) \pm g(x)]’ = f’(x) \pm g’(x)$
- 乘积法则： $[f(x)g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$
- 商法则： $\left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]’ = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2}$
- 链式法则： $[f(g(x))]’ = f’(g(x))g’(x)$，这是求解复合函数导数的关键。例如，求 $\sin(2x)$ 的导数，令 $f(u) = \sin(u)$, $u = g(x) = 2x$，则导数为 $\cos(2x) \cdot 2$。
积分公式
积分
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