微分公式
微分是高等数学中研究函数变化率的核心工具。
1. 基本求导公式
| 函数 | 导数 |
|---|---|
| $c$ (常数) | $0$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln(a)$ |
| $\ln(x)$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\log_a(x)$ | $\frac{1}{x \ln(a)}$ |
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ |
| $\tan(x)$ | $\sec^2(x)$ |
| $\cot(x)$ | $-\csc^2(x)$ |
| $\arcsin(x)$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan(x)$ | $\frac{1}{1+x^2}$ |
2. 求导法则
- 常数与函数相乘法则： $[cf(x)]’ = cf’(x)$
- 和差法则： $[f(x) \pm g(x)]’ = f’(x) \pm g’(x)$
- 乘积法则： $[f(x)g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)$
- 商法则： $\left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]’ = \frac{f’(x)g(x) - f(x)g’(x)}{[g(x)]^2}$
- 链式法则： $[f(g(x))]’ = f’(g(x))g’(x)$，这是求解复合函数导数的关键。例如，求 $\sin(2x)$ 的导数，令 $f(u) = \sin(u)$, $u = g(x) = 2x$，则导数为 $\cos(2x) \cdot 2$。
积分公式
积分是微分的逆运算，用于求解曲线下面积、体积等。
1. 基本不定积分公式
这些公式可以直接从上面的微分公式反推得到。
| 函数 | 不定积分 |
|---|---|
| $0$ | $C$ (常数) |
| $x^n$ ($n \neq -1$) | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln x+ C$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln(a)} + C$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x) + C$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x) + C$ |
| $\sec^2(x)$ | $\tan(x) + C$ |
| $\csc^2(x)$ | $-\cot(x) + C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin(x) + C$ |
| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan(x) + C$ |
2. 积分方法
当被积函数不是基本的类型时，需要使用一些技巧来求解。
- 换元法 (Substitution Method)： 通过引入新的变量，将复杂的积分转化为简单的积分。
- 例： $\int 2x \cos(x^2) dx$。令 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$，原式变为 $\int \cos(u) du = \sin(u) + C = \sin(x^2) + C$。
- 分部积分法 (Integration by Parts)： 用于求解两个函数乘积的积分，其公式为：
- $\int u dv = uv - \int v du$
- 例： $\int x \cos(x) dx$。令 $u=x$, $dv=\cos(x)dx$，则 $du=dx$, $v=\sin(x)$。
- $\int x \cos(x) dx = x\sin(x) - \int \sin(x) dx = x\sin(x) + \cos(x) + C$。
- 分式积分法： 当被积函数是有理分式时，通常通过部分分式分解来简化，然后逐项积分。
总结
- 微分公式主要用于计算函数在某一点的斜率或变化率，是理解瞬时变化的基础。
- 积分公式主要用于计算面积、体积或累积效应，是理解整体变化的基础。
这些公式是高等数学的基石，熟练掌握它们是解决更复杂问题的关键。
还有一些特殊的函数导数和积分公式，比如双曲函数、反双曲函数等，但上述这些是日常学习和应用中最常见的。你对这些公式的应用场景感兴趣吗？
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