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小波变换：理论与应用全解析

形象易懂讲解算法I——小波变换 - 咚懂咚懂咚的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818

核心概念

小波变换（Wavelet Transform）是一种时频分析工具，通过将信号分解为一系列缩放和平移的基函数（小波）来捕捉信号的局部特征。其数学定义为： $$ CWT(a,b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi^* \left( \frac{t-b}{a} \right) dt $$ 其中 $a$ 为尺度参数（控制频率），$b$ 为平移参数（控制时间位置），$\psi(t)$ 是母小波函数。与傅里叶变换相比，小波变换突破了时频分辨率固定的限制，可自适应调整窗口大小，在分析非平稳信号时具有显著优势。

关键特性

  1. 时频局部化：同时提供时间和频率信息，适合分析瞬态信号
  2. 多分辨率分析：通过尺度变换实现从粗粒度到细粒度的信号分解
  3. 基函数多样性：不同小波基适应不同信号特性

小波基选择标准

小波类型支撑长度正交性对称性适用场景
Haar2是对称突变信号检测
Daubechies(dbN)可变是不对称图像压缩、去噪
Morlet无穷大否对称时频分析
Coiflets可变是对称信号压缩

数学原理与算法

连续小波变换（CWT）

通过连续缩放和平移母小波生成系数矩阵，适用于高精度时频分析： $$ W(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \psi^* \left( \frac{t-b}{a} \right) dt $$ 缺点：计算复杂度高，适合离线分析。

离散小波变换（DWT）

采用二进离散化（$a=2^j, b=k \cdot 2^j$），通过滤波器组实现高效计算：

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import pywt
# 信号分解
coeffs = pywt.wavedec(data, 'db4', level=3)  # 3级分解，使用db4小波
cA3, cD3, cD2, cD1 = coeffs  # 近似系数 + 细节系数
# 信号重构
recon = pywt.waverec(coeffs, 'db4')

分解过程：

  1. 信号通过低通（$h[n]$）和高通滤波器（$g[n]$）
  2. 输出进行二抽取（downsampling）
  3. 递归分解近似系数

多分辨率分析（MRA）

[多分辨率分解金字塔结构]
将信号空间分层为嵌套子空间：
$$ V_0 \supset V_1 \supset \cdots \supset V_j, \quad V_j = V_{j+1} \oplus W_{j+1} $$
其中 $V_j$ 为近似空间，$W_j$ 为细节空间。

典型应用场景

1. 信号去噪

小波阈值法是主流方法：

  • 硬阈值：$ \hat{c} = \begin{cases} c & |c| \geq T \ 0 & |c| < T \end{cases} $
  • 软阈值：$ \hat{c} = \text{sign}(c)(|c| - T)_+ $
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def wavelet_denoise(signal, wavelet='db4', level=3):
    coeffs = pywt.wavedec(signal, wavelet, level=level)
    # 估计噪声标准差
    sigma = mad(coeffs[-1]) / 0.6745  # 中值绝对偏差
    # 通用阈值
    threshold = sigma * np.sqrt(2 * np.log(len(signal)))
    # 软阈值处理细节系数
    coeffs[1:] = [pywt.threshold(c, threshold, mode='soft') for c in coeffs[1:]]
    return pywt.waverec(coeffs, wavelet)

2. 信号压缩

利用小波系数的能量集中特性：

  1. 小波分解
  2. 保留重要系数（能量占比>95%）
  3. 量化和熵编码（如Huffman编码） JPEG 2000标准即基于DWT，相比传统DCT提升压缩率20-30%。

3. 特征提取

小波系数能量作为特征： $$ E_j = \sum_k |c_{j,k}|^2 $$ 应用于：

  • 心电图中QRS波检测
  • 机械故障诊断中的冲击特征识别
  • 金融时间序列波动分析

图像处理扩展

图像去噪

二维DWT分解为LL（低频）、LH、HL、HH子带：

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from skimage.restoration import denoise_wavelet
denoised_img = denoised_wavelet(
    noisy_img, 
    wavelet='bior3.3', 
    mode='soft', 
    wavelet_levels=4
)

评估指标：

  • PSNR：$ 20 \log_{10} \left( \frac{MAX_I}{\sqrt{MSE}} \right) $
  • SSIM：结构相似性指数

图像压缩

JPEG 2000流程：

graph TD
A[原始图像] --> B[颜色空间转换]
B --> C[二维DWT分解]
C --> D[小波系数量化]
D --> E[熵编码]
E --> F[压缩图像]

优势：支持渐进传输和感兴趣区域编码。

Gabor小波在生物特征识别

$$ g(x,y) = \exp\left(-\frac{x’^2 + \gamma^2 y’^2}{2\sigma^2}\right) \cos\left(2\pi \frac{x’}{\lambda}\right) $$ 其中 $x’ = x\cos\theta + y\sin\theta$, $y’ = -x\sin\theta + y\cos\theta$。
Gabor小波模拟人类视觉皮层响应，对人脸识别中的光照变化不敏感。

进阶技术与最新进展

小波包变换（WPT）

突破DWT只分解近似系数的限制，实现全子树分解：

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wp = pywt.WaveletPacket(data, wavelet='db4', mode='symmetric', maxlevel=4)

优势：对高频成分分析更精细，适用于语音识别和脑电信号分析。

多小波分析

使用多个母小波构成基函数系统：

  • GHM多小波：同时满足正交性、对称性和高阶消失矩
  • 应用：图像融合中更好保留边缘信息

小波域机器学习

将小波系数作为特征输入深度学习模型：

  1. CNN+小波：小波子带作为多通道输入
  2. 小波注意力机制：在Transformer中引入频域注意力
  3. 压缩感知：小波稀疏先验提升重建质量

代码实现案例

Python信号去噪

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import numpy as np
import pywt
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成含噪信号
t = np.linspace(0, 1, 1000)
x_clean = np.sin(2 * np.pi * 10 * t)
x_noisy = x_clean + 0.5 * np.random.randn(len(t))

# 小波去噪
def denoise(signal):
    coeffs = pywt.wavedec(signal, 'sym5', level=4)
    sigma = np.median(np.abs(coeffs[-1])) / 0.6745
    threshold = sigma * np.sqrt(2 * np.log(len(signal)))
    coeffs = [pywt.threshold(c, threshold, mode='soft') for c in coeffs]
    return pywt.waverec(coeffs, 'sym5')

x_denoised = denoise(x_noisy)

# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(t, x_noisy, alpha=0.5, label='Noisy')
plt.plot(t, x_clean, 'k--', label='Clean')
plt.plot(t, x_denoised, 'r', label='Denoised')
plt.legend()

MATLAB图像压缩

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% 读取图像
img = imread('cameraman.tif');
% 小波分解
[c, s] = wavedec2(img, 3, 'db4');
% 保留前10%大系数
thresh = percentile(abs(c), 90);
c_comp = c .* (abs(c) >= thresh);
% 重构
img_comp = waverec2(c_comp, s, 'db4');
% 计算PSNR
psnr_val = psnr(img_comp, img);

总结与展望

小波变换凭借时频局部化和多尺度分析能力，已成为现代信号处理的基石技术。其核心优势体现在：

  1. 非平稳信号处理：优于傅里叶变换的瞬态特征捕获
  2. 计算效率：Mallat算法实现 $O(N)$ 复杂度
  3. 领域适应性：通过小波基选择匹配应用场景

未来方向：

  • 与小波神经网络的融合：提升特征表示能力
  • 量子小波算法：解决高维信号处理瓶颈
  • 非均匀采样小波：优化边缘计算场景性能

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