复数运算知识

复数的定义

复数是形如 $z = a + bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。$a$ 称为实部，$b$ 称为虚部。

复数的表示形式

代数形式

复数通常用代数形式表示：$z = a + bi$。

极坐标形式

复数也可以用极坐标形式表示：$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$，其中 $r = |z|$ 是模，$\theta$ 是辐角。或者使用欧拉公式：$z = r e^{i\theta}$。

基本运算

加法

两个复数相加：$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$。

减法

两个复数相减：$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$。

乘法

两个复数相乘：

• 代数形式：$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
• 极坐标形式：如果 $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ 和 $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$，则 $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$。

除法

两个复数相除（除数不为零）：

• 代数形式：$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$。
• 极坐标形式：如果 $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ 和 $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$，则 $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$。

模和共轭

模

复数的模定义为 $|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$。模表示复数在复平面上的距离。

共轭复数

如果 $z = a + bi$，则其共轭复数为 $\bar{z} = a - bi$。性质包括：

• $z \bar{z} = |z|^2$
• $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$
• $\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1} \bar{z_2}$

欧拉公式

欧拉公式建立了指数函数和三角函数的关系：$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$。这是一个重要的工具，用于简化复数运算。

复数的幂和根

幂

复数的幂可以使用极坐标形式计算：如果 $z = r e^{i\theta}$，则 $z^n = r^n e^{i n\theta}$。

根

复数的 $n$ 次根有 $n$ 个不同的值。如果 $z = r e^{i\theta}$，则 $z^{1/n} = r^{1/n} e^{i (\theta + 2k\pi)/n}$，其中 $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$。

应用

复数运算在工程、物理和数学中有广泛应用，例如：

• 解多项式方程，如 $x^2 + 1 = 0$ 的根为 $x = \pm i$。
• 在电路分析中，复数用于表示阻抗。
• 在信号处理中，复数用于傅里叶变换。