复数运算知识

复数的定义

复数是形如 $z = a + bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。$a$ 称为实部，$b$ 称为虚部。

复数的表示形式

代数形式

复数通常用代数形式表示：$z = a + bi$。

极坐标形式

复数也可以用极坐标形式表示：$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$，其中 $r = |z|$ 是模，$\theta$ 是辐角。或者使用欧拉公式：$z = r e^{i\theta}$。

基本运算

加法

两个复数相加：$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$。

减法

两个复数相减：$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$。

乘法

两个复数相乘：

• 代数形式：$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$。
• 极坐标形式：如果 $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ 和 $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$，则 $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$。

除法

两个复数相除（除数不为零）：

• 代数形式：$\frac{a + bi}{c + di}