三角函数知识总结

三角函数速览

三角函数是数学中一类非常重要的函数，它们描述了直角三角形中角与边之间的关系，并被广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。

1. 六个基本三角函数

其中，tan、cot、sec、csc 可以通过 sin 和 cos 来表示：

• $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$
• $\cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = \frac{1}{\tan(\theta)}$
• $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$
• $\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$

2. 基本性质

三角函数具有周期性、奇偶性等重要性质：

• 周期性：

  • $\sin(\theta + 2k\pi) = \sin(\theta)$
  • $\cos(\theta + 2k\pi) = \cos(\theta)$
  • $\tan(\theta + k\pi) = \tan(\theta)$

• 奇偶性：

  • 奇函数： $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$，$\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$
  • 偶函数： $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$

• 平方关系：

  • $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$
  • $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$
  • $1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$

常用变换公式

这些公式是解决三角函数问题的基石，能帮助我们简化表达式或求解方程。

1. 和角与差角公式

• $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta)$
• $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta)$
• $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)}$

2. 倍角与半角公式

倍角公式可以将一个角的函数值转化为该角一半的函数值，反之亦然。

• $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
• $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$
• $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$

半角公式则常用于将平方项转化为非平方项，便于积分等运算。

• $\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}$
• $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2}$
• $\tan^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}$

3. 积化和差与和差化积公式

积化和差常用于求解积分或简化表达式：

• $\sin(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$
• $\cos(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$

和差化积常用于因式分解或解方程：

• $\sin(A) + \sin(B) = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$
• $\cos(A) + \cos(B) = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$

常用场景

• 物理学： 描述波、振动、简谐运动、光的衍射与干涉等周期性现象。例如，电磁波的传播可以用 $\sin$ 或 $\cos$ 函数来建模。
• 工程学： 建筑结构（如桥梁、桁架）的力学分析，声波、交流电信号的分析与处理。
• 计算机图形学：
  • 旋转变换： 利用 sin 和 cos 函数对物体进行旋转，这是所有 2D/3D 游戏和图形引擎的核心功能。
  • 动画与运动： 创建平滑的、周期性的动画效果，例如角色呼吸、物体摆动等。
• 导航与测量： 利用三角测量法计算无法直接测量的距离和高度。例如，通过测量角度来确定山峰或建筑的高度。
• 音乐： 声音本质上是波，每个音符都可以用一个具有特定频率和振幅的 $\sin$ 函数来表示。
• 傅里叶分析： 任何复杂的周期性信号都可以分解成一系列简单的 $\sin$ 和 $\cos$ 波的叠加，这是信号处理、图像压缩和数据分析的基础。