鞋带公式

鞋带公式（高斯面积公式）通过坐标交叉相乘计算简单多边形面积。

定义

$A=\frac{1}{2}\left|{\sum }_{i=1}^n(x_i{y}_{i+1})-{\sum }_{i=1}^n(y_i{x}_{i+1})\right|$

其中 $(x_i,y_i)$ 是多边形顶点，$x_{n+1}=x_1$ 循环闭合。

原理

本质是格林定理的离散应用，将多边形分解为多个有向面积后累加。

Python 实现

def shoelace_area(vertices):
    n = len(vertices)
    area = 0.0
    for i in range(n):
        j = (i + 1) % n
        area += vertices[i][0] * vertices[j][1]
        area -= vertices[j][0] * vertices[i][1]
    return abs(area) / 2.0
 
polygon = [(2,4), (3,-8), (-7,2), (8,10)]
print(shoelace_area(polygon))  # 76.0

应用场景

领域	应用
GIS	地块面积计算
图形学	多边形处理
机器人	路径规划区域
竞赛编程	几何问题

注意事项

• 顶点必须按顺序排列
• 必须取绝对值
• 适用于任意简单多边形