Langevin dynamics 朗之万动力学

朗之万动力学描述粒子在势能场中受确定力与随机力作用的运动，是扩散模型的理论基础。

基本方程

$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\nabla U(x)-\gamma \frac{dx}{dt}+\sqrt{2\gamma k_{B}T}\eta (t)$

符号	含义
$U(x)$	势能函数
$\gamma$	摩擦系数
$\eta (t)$	高斯白噪声

过阻尼极限

当惯性项可忽略时：

$\frac{dx}{dt}=-\nabla U(x)+\sqrt{2}\eta (t)$

与扩散模型的关系

概念	对应关系
势能函数	负对数概率密度
噪声项	扩散过程
平稳分布	目标数据分布

应用场景

• 扩散模型：Score-based生成模型
• 分子动力学：蛋白质折叠模拟
• 贝叶斯推断：MCMC采样
• 强化学习：探索策略