高斯分布2

高斯分布（正态分布）是统计学和机器学习的核心理论基础，由中心极限定理保证其普遍性。

一维高斯分布

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$

参数	含义
$\mu$	均值（中心位置）
${\sigma }^2$	方差（离散程度）

多元高斯分布

$f(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}|\Sigma {|}^{1/2}}\exp \left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^T{\Sigma }^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu })\right)$

核心性质

• 68-95-99.7 规则：约68%/95%/99.7%数据在 $\mu \pm \sigma /2\sigma /3\sigma$ 内
• 对称性：关于均值对称
• 最大熵分布：给定均值方差时熵最大

应用场景

领域	应用
异常检测	基于概率阈值检测
机器学习	参数初始化、噪声模型
金融	收益率建模
质量控制	过程能力分析

扩展形式

• 高斯混合模型（GMM）：多个高斯分布的加权和
• 高斯过程（GP）：函数空间的概率分布