随机微分方程

随机微分方程（SDE）描述含随机扰动的动力学系统，是扩散模型的理论基础。

基本形式

$d{X}_t=\mu (X_t,t)dt+\sigma (X_t,t)d{W}_t$

符号	含义
$\mu$	漂移项（确定性趋势）
$\sigma$	扩散项（随机扰动）
$W_t$	维纳过程（布朗运动）

伊藤引理

对 $f(X_t,t)$：

$df=\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)dt+\sigma \frac{\partial f}{\partial x}d{W}_t$

应用场景

领域	应用
扩散模型	Score-based生成
金融工程	期权定价（Black-Scholes）
物理学	郎之万动力学
系统生物学	基因表达噪声

数值求解

• 欧拉-丸山方法
• Milstein方法
• 隐式方法