小波变换：理论与应用全解析

小波变换提供时频联合分析能力，克服傅里叶变换的局限。

核心概念

小波变换使用可伸缩、可平移的小波基函数分析信号：

$W(a,b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int f(t){\psi }^{\ast }\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$

参数	含义
$a$	尺度（频率）
$b$	平移（时间位置）
$\psi$	小波基函数

与傅里叶变换对比

特性	傅里叶变换	小波变换
时域信息	丢失	保留
频域分辨率	均匀	多尺度
适用信号	平稳	非平稳

常用小波

小波	特点
Haar	最简单，不连续
Daubechies	紧支撑，正交
Morlet	复数，适合频率分析

应用场景

• 图像压缩（JPEG2000）
• 信号去噪
• 边缘检测
• 医学影像分析