对数运算

对数是指数的逆运算：若 $a^{x} = b$ ，则 $x = lo g_{a} b$ 。

核心运算规则

规则	公式
积的对数	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
商的对数	$lo g_{a} (x / y) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
幂的对数	$lo g_{a} (x^{k}) = k lo g_{a} x$
换底公式	$lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$
对数恒等式	$a^{l o g_{a} b} = b$

特殊值

表达式	值
$lo g_{a} 1$	$0$
$lo g_{a} a$	$1$
$ln e$	$1$

常用对数类型

类型	底数	符号
自然对数	$e$	$ln x$
常用对数	$10$	$l g x$ 或 $lo g x$
二进制对数	$2$	$lo g_{2} x$

应用场景

信息论：熵计算（以2为底）
机器学习：交叉熵损失、对数似然
信号处理：分贝计算
数据可视化：对数坐标