张芷铭的个人博客

爱因斯坦求和约定：从数学本质到高效张量运算

爱因斯坦求和约定：从数学本质到高效张量运算

爱因斯坦求和约定（Einstein Summation Convention）是数学物理中一种简洁高效的张量运算表示法，后成为现代科学计算的核心工具之一。本文将深入探讨其数学原理、实现细节及在深度学习中的应用。

历史背景与发展

爱因斯坦于1916年在广义相对论论文中首次系统引入这一约定，用于简化张量分析中的冗余求和符号。其核心思想是：当指标重复出现时自动求和。例如黎曼曲率张量$R^{\mu}_{\nu\rho\sigma}$的表达式因此变得紧凑。

2010年后，随着NumPy、PyTorch等库实现einsum函数，该约定从理论物理学进入主流计算领域。PyTorch的torch.einsum文档显示，其实现已支持自动微分和GPU加速。

数学原理与表示法

基本定义

给定两个张量$A_{ij}$和$B_{jk}$，其矩阵乘法可表示为： $$C_{ik} = \sum_j A_{ij} B_{jk}$$ 使用爱因斯坦约定则简化为： $$C_{ik} = A_{ij} B_{jk}$$ 重复下标$j$自动触发求和。

通用形式

对于N维张量运算： $$T_{out} = \sum_{d_1,…,d_k} T_1^{d_1…} \otimes … \otimes T_n^{…d_k}$$ 其中$d_i$为求和维度，输出维度由非重复指标决定。

特殊性质

  1. 自由指标与哑指标：输出维度由自由指标（非重复）决定
  2. 广播规则：如i,j->ij表示外积
  3. 结合律：多个einsum可合并为单个表达式

在PyTorch中的实现

核心语法

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torch.einsum("equation, operands...")
  • equation格式："input_specs->output_spec"
  • 维度标记：小写字母（如i,j,k）

典型运算示例

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import torch

# 矩阵乘法
A = torch.randn(3,4)
B = torch.randn(4,5)
C = torch.einsum("ik,kj->ij", A, B)  # 等价于 A @ B

# 双线性变换
D = torch.einsum("bn,anm,bm->ba", X, W, Y)  # 形状变换+求和

性能优化

PyTorch内部会将einsum转换为最优计算图。实验表明：

  • 对于简单运算（如矩阵乘），直接调用matmul更快
  • 复杂高维运算中einsum可减少中间内存分配

应用场景

物理学中的经典用例

  1. 广义相对论：$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}R g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$
  2. 量子力学：$\langle \psi|A|\phi \rangle = A_{ij}\psi^i \phi^j$

深度学习中的现代应用

运算类型einsum表达式等效操作
注意力分数“bqd,bkd->bqk”Q @ K.T
矩阵迹“ii->”torch.trace
张量收缩“abcd,de->abce”特定维度求和

高级技巧与最新进展

动态形状处理

PyTorch 2.0+支持通过字符串标记动态维度：

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@torch.compile(dynamic=True)
def fn(x):
    return torch.einsum("bchw,bohw->bco", x, weight)  # 自动处理变长batch

自动微分兼容性

einsum完全支持autograd：

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x = torch.randn(3, requires_grad=True)
W = torch.randn(3,3, requires_grad=True)
y = torch.einsum("i,ij->j", x, W)
y.backward()  # 正确计算x.grad和W.grad

推荐学习资源

  1. 经典教材：https://www.math.nyu.edu/~drorbn/papers/ATM/
  2. PyTorch官方文档：https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.einsum.html
  3. 前沿应用：https://arxiv.org/abs/2002.10490

结语

爱因斯坦求和约定将数学的优雅与计算的效率完美结合。掌握这一工具，既能深入理解物理定律的数学结构，又能写出高效的张量运算代码——这正是理论与实践的绝妙统一。1

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