高斯网络是连续变量的概率图模型，分为有向（高斯贝叶斯网络）和无向（高斯马尔可夫网络）两种形式。

高斯分布基础

节点服从 $\mathcal{N}(\mu_i, \Sigma_i)$，联合分布为多元高斯。

独立性条件：

精度矩阵 $\Lambda = \Sigma^{-1}$ 编码条件独立性。

高斯贝叶斯网络（GBN）

LDS 的推广，节点可有多个父节点。因子分解：

$$p(x) = \prod_{i=1}^p p(x_i|x_{Parents(i)})$$

条件分布为线性高斯：

$$x_i = \mu_i + \sum_{j \in Parents(i)} w_{ij}(x_j - \mu_j) + \sigma_i \varepsilon_i$$

矩阵形式：$x - \mu = W(x - \mu) + S\varepsilon$，协方差 $\Sigma = (\mathbb{I}-W)^{-1} S^2 [(\mathbb{I}-W)^{-1}]^T$

高斯马尔可夫网络（GMN）

无向图因子分解：

$$p(x) = \frac{1}{Z} \prod_i \phi_i(x_i) \prod_{i,j} \phi_{ij}(x_i, x_j)$$

展开高斯分布：

$$p(x) \propto \exp\left(-\frac{1}{2}x^T\Lambda x + h^Tx\right)$$

其中 $h = \Lambda\mu$ 为势向量。势函数对应：

• 节点势：$-\frac{1}{2}\lambda_{ii}x_i^2 + h_i x_i$
• 边势：$-\lambda_{ij}x_i x_j$

精度矩阵的非零元直接对应图的边。