数学基础知识

在本科毕业阶段，应掌握的数学常识和公式主要涵盖了微积分、线性代数、概率论与数理统计、离散数学以及常见的数学工具方法。这些知识不仅是继续深造的基础，也是进入工作实践中，特别是技术和科学相关领域时所需的基础能力。以下是简要总结：

一、微积分

1. 极限与连续性

   • 极限：
     [ \lim_{x \to a} f(x) = L ]
   • 连续性：函数 ( f(x) ) 在点 ( x=a ) 处连续：
     [ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) ]

2. 导数与微分

   • 导数定义：
     [ f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]
   • 常见导数公式：
     [ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} ] [ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x ] [ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ] [ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} ]

3. 积分

   • 不定积分： [ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) ]
   • 定积分（牛顿-莱布尼茨公式）：
     [ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) ]
   • 常见积分公式：
     [ \int e^x dx = e^x + C ] [ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C ]

二、线性代数

1. 矩阵与向量

   • 矩阵乘法：
     若 ( A \in \mathbb{R}^{m \times n} ) 和 ( B \in \mathbb{R}^{n \times p} )，则 ( C = A \times B )，其中 ( C \in \mathbb{R}^{m \times p} )，并且： [ C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj} ]

2. 行列式

   • 行列式的性质： [ \det(AB) = \det(A) \times \det(B) ]
   • 逆矩阵存在条件：( \det(A) \neq 0 )

3. 特征值与特征向量

   • 特征方程： [ A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} ] 其中 ( A ) 是矩阵，( \mathbf{v} ) 是特征向量，( \lambda ) 是对应的特征值。

三、概率论与数理统计

1. 概率基本公式

   • 全概率公式：
     若事件 ( A_1, A_2, …, A_n ) 构成一个完备事件组，且 ( P(A_i) > 0 )，则： [ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i)P(A_i) ]
   • 贝叶斯公式： [ P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} ]

2. 常见分布

   • 正态分布（高斯分布）：
     概率密度函数为： [ f(x|\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ]
   • 二项分布： [ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} ]

四、离散数学

1. 组合数学

   • 排列公式： [ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} ]
   • 组合公式： [ C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

2. 图论

   • 简单图的基本性质：顶点的度数总和等于边数的两倍。
   • 欧拉路径和哈密顿路径的概念。

五、其他常用数学工具

1. 复数

   • 复数形式：( z = a + bi )，其中 ( a ) 是实部，( b ) 是虚部，( i ) 是虚数单位。
   • 复数的模：
     [ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ]

2. 拉普拉斯变换

   • 定义：
     [ \mathcal{L}{f(t)} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt ]
   • 反拉普拉斯变换可以用于求解微分方程。

掌握这些基本数学常识和公式，不仅有助于解决日常工程和科学中的问题，还为后续深度研究和实际应用打下坚实的基础。