角点（Corner）
角点是图像中梯度变化剧烈的点，即局部区域内的方向梯度变化明显的特征点。角点通常用于特征检测、运动追踪、图像配准、目标识别等计算机视觉任务。
1. 角点的定义
在数学上，角点通常是图像中两个边缘的交点，具有以下特点：
• 局部区域内的梯度变化大：在水平、垂直、对角线方向都有明显的强度变化。
• 稳定性高：角点在不同尺度、视角变化下仍能保持特征一致，适用于特征匹配。
• 可用于运动估计和点追踪：如 KLT 追踪、SIFT、ORB 特征提取等。
直观理解：
• 如果在一张图像中移动一个小窗口：
• 在平坦区域：像素强度变化很小。
• 在边缘上：在垂直于边缘方向变化大，沿着边缘方向变化小。
• 在角点处：无论窗口如何移动，像素强度都发生明显变化。
2. 角点检测方法
(1) Harris 角点检测器
原理：
• 计算窗口内的梯度变化，通过二阶矩矩阵（结构张量）分析区域内像素变化。
• 计算角点响应函数 R：
$$
R = \det(M) - k \cdot (\text{trace}(M))^2
$$
其中：
• $\det(M)$ 是矩阵行列式，表示特征值乘积（梯度变化的整体强度）。
• $\text{trace}(M)$ 是矩阵迹，表示梯度变化的总量。
• $k$ 是经验值（通常取 0.04~0.06）。
• R > 0：为角点；R < 0 为边缘；R ≈ 0 为平坦区域。
优点：
• 计算简单，适用于实时检测。
• 能够区分角点与边缘。
缺点：
• 对旋转和尺度变化不够鲁棒。
(2) Shi-Tomasi 角点检测
• Shi-Tomasi 方法是 Harris 角点检测的改进版本。
• 直接使用最小特征值作为角点度量：
$$
R = \min(\lambda_1, \lambda_2)
$$
其中 $\lambda_1, \lambda_2$ 是二阶矩矩阵的特征值。
改进点：
• 只取最小特征值，避免 Harris 方法中的超参数 $k$。
应用：
• KLT（Kanade-Lucas-Tomasi）光流 用于视频点追踪时，通常会先用 Shi-Tomasi 方法检测角点。
(3) SIFT（尺度不变特征变换）
• 通过 高斯差分金字塔（DoG） 在不同尺度下检测角点。
• 提供 尺度不变性，适用于特征匹配。
特点：
• 计算量大，适用于高精度特征匹配。
• 能够检测到更具稳定性的角点。
(4) ORB（Oriented FAST and Rotated BRIEF）
• 结合 FAST 角点检测 + BRIEF 特征描述子。
• 计算速度快，适用于移动端和实时应用。
3. 角点 vs. 边缘 vs. 平坦区域
| 类型 | 变化方向 | 示例 |
|---|---|---|
| 角点 | 在两个方向上都有剧烈变化 | 物体的拐角 |
| 边缘 | 在一个方向上变化剧烈，另一个方向变化平稳 | 物体轮廓 |
| 平坦区域 | 变化很小 | 天空、光滑墙面 |
4. 角点的应用
- 视频点追踪（Point Tracking）
• KLT 追踪 先检测 Shi-Tomasi 角点，然后计算光流。
• TAPIR / CoTracker3 追踪视频中的特征点，多采用角点作为初始化点。
- 特征匹配（Feature Matching）
• SIFT / ORB 用于图像配准、3D 视觉等任务。
- 目标检测和 SLAM（同步定位与建图）
• 角点作为关键点，帮助机器人定位。
5. 总结
• 角点是图像中梯度变化剧烈的点，适用于运动分析和特征匹配。
• Harris / Shi-Tomasi / SIFT / ORB 是常用的角点检测方法。
• 角点可用于 视频点追踪、光流估计、目标检测、SLAM 等任务。
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