粒子滤波解决非线性、非高斯状态空间模型的滤波问题，通过序列重要性采样（SIS）和重采样近似求解后验分布。

背景

Kalman 滤波对线性高斯模型可解析求解，但非线性、非高斯情况需采样方法。

重要性采样

$E [f (z)] = \int_{z} f (z) p (z) d z = \sum_{i = 1}^{N} f (z_{i}) \frac{p ( z _{i} )}{q ( z _{i} )}$

通过提议分布 $q (z)$ 采样，对每个样本应用权重。

求解 $p (z_{1 : t} ∣ x_{1 : t})$ ，权重递推：

$w_{t}^{i} \propto \frac{p ( x _{t} ∣ z _{t} ) p ( z _{t} ∣ z _{t - 1} )}{q ( z _{t} ∣ z _{1 : t - 1} , x _{1 : t} )} w_{t - 1}^{i}$

算法流程：

SIS 算法会出现大部分权重逼近 0 的情况。

解决方案：

方法	说明
重采样	以权重为概率分布重新采样，所有样本权重相同
选择提议分布	$q(z_t

采用重采样的 SIS 算法即为基本粒子滤波。若提议分布取 $p (z_{t} ∣ z_{t - 1})$ ，称为 SIR（Sampling-Importance-Resampling）算法。