13.LDS

线性动态系统（LDS）处理连续隐变量的时序建模，卡尔曼滤波是其特例，通过预测-更新递推实现实时推断。

模型定义

LDS 又称卡尔曼滤波，适用于连续隐变量的 HMM。状态转移和观测方程：

$$\begin{array}{rl}{z}_t& =A\cdot z_{t-1}+B+\epsilon ,\epsilon \sim \mathcal{N}(0,Q)\\ x_t& =C\cdot z_t+D+\delta ,\delta \sim \mathcal{N}(0,R)\end{array}$$

类比 HMM 参数：

$$\begin{array}{rl}p(z_t|z_{t-1})& \sim \mathcal{N}(A\cdot z_{t-1}+B,Q)\\ p(x_t|z_t)& \sim \mathcal{N}(C\cdot z_t+D,R)\\ z_1& \sim \mathcal{N}({\mu }_1,{\Sigma }_1)\end{array}$$

滤波问题

LDS 的核心推断任务是滤波：$p(z_t|x_1,\cdots ,x_t)$。

分解联合概率：

$p(z_t|x_{1:t})=C\cdot p(x_t|z_t)\cdot p(z_t|x_{1:t-1})$

预测项递推：

$p(z_t|x_{1:t-1})={\int }_{z_{t-1}}p(z_t|z_{t-1})p(z_{t-1}|x_{1:t-1})d{z}_{t-1}$

递推算法

流程：update → prediction 交替进行，在线处理。

步骤	计算
Prediction	$p(z_t
Update	$p(z_t

线性高斯假设下，每步都有解析解。