正态分布

正态分布（高斯分布）是统计学中最常见的概率分布，自然界中大量现象遵循此分布。

数学定义

概率密度函数： $f(x|\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

参数	含义
$\mu$	均值（分布中心）
$\sigma$	标准差（离散程度）
${\sigma }^2$	方差（波动程度）

核心性质

性质	说明
对称性	以均值为中心对称
钟形曲线	$\sigma$ 增大曲线平缓，减小曲线尖锐
68-95-99.7 规则	68%/95%/99.7% 数据落在 1/2/3 个标准差内

标准正态分布

$\mu =0$，$\sigma =1$ 时的正态分布。

标准化变量： $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$

应用领域

领域	应用
统计学	假设检验、置信区间
自然现象	身高、体重、智商分布
金融学	股票收益率建模
机器学习	贝叶斯推断、高斯混合模型