随机微分方程

随机微分方程（SDE）在常微分方程上叠加噪声项，描述受随机扰动驱动的动力学系统——从分子碰撞到期权价格，真实世界几乎不含无噪声系统。整个体系的演化脉络见微分方程，确定性基线见常微分方程。

从 ODE 到 SDE

常微分方程假设演化完全确定：给定初值，未来唯一锁定。但真实系统永远带涨落——分子碰撞、热噪声、市场冲击。把扰动建模为布朗运动增量 $\mathrm{d}{W}_t$，就得到 SDE：

$\mathrm{d}{X}_t=\mu (X_t,t)\mathrm{d}t+\sigma (X_t,t)\mathrm{d}{W}_t$

符号	含义
$\mu$	漂移项（drift），确定性趋势
$\sigma$	扩散项（diffusion），随机扰动强度
$W_t$	维纳过程（布朗运动），见高斯分布的增量视角

关键差别藏在量级里：$\mathrm{d}{W}_t\sim \sqrt{\mathrm{d}t}$，而普通增量是 $\mathrm{d}t$ 量级。噪声项衰减得慢一档，$\frac{\mathrm{d}{W}_t}{\mathrm{d}t}$ 在 $\mathrm{d}t\to 0$ 时爆炸，所以 SDE 写不成导数形式——这不是记号偏好，是布朗运动轨道不可微、无界变差带来的硬约束，完整因果链见变差。对这样的被积函数做积分，古典微积分直接失效，必须换成 伊藤积分与伊藤公式。

$\mathrm{d}{W}_t$ 不是普通无穷小

$(\mathrm{d}{W}_t{)}^2=\mathrm{d}t$ 量级——平方后与确定性项同阶，不能像处理 $\mathrm{d}{t}^2$ 那样扔掉。伊藤引理里多出的修正项 $\frac{1}{2}{\sigma }^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\mathrm{d}t$ 正是由此而来。

伊藤引理

随机版的链式法则，对 $f(X_t,t)$：

$\mathrm{d}f=\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)\mathrm{d}t+\sigma \frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}{W}_t$

比确定性链式法则多出的 $\frac{{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$ 项是二次变差的直接后果。积分构造与推导细节见 伊藤积分与伊藤公式，这里只消费结论：有了它，才能对 SDE 的解做函数变换。

同一方程有两种积分版本：Itô 取左端点（不可预测，金融与扩散模型的标准选择，鞅性质干净）；Stratonovich 取区间中点（满足普通链式法则，物理与连续时间极限的噪声建模惯用）。两者可通过修正漂移项互相换算。

解与典型实例

SDE 的解不是一条曲线，而是一族随机轨道。绝大多数 SDE 没有解析解，几何布朗运动（GBM）是少数例外：

$\mathrm{d}{S}_t=\mu S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}{W}_t$

对 $\ln S_t$ 用伊藤引理，漂移被修正 $\mu \to \mu -\frac{{\sigma }^2}{2}$，得到闭式解：

$S_t=S_0\exp \left(\left(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\right)t+\sigma W_t\right)$

Black-Scholes 期权定价正建立在 GBM 之上。另一个经典是 Ornstein-Uhlenbeck 过程——漂移把状态拉回均值、扩散项搅动，稳态分布是高斯；其物理原型即 Langevin dynamics 朗之万动力学。

Fokker-Planck：轨道与密度两副面孔

单条轨道随机，但轨道集合的概率密度 $p(x,t)$ 演化完全确定，服从 Fokker-Planck 方程：

$\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{\partial (\mu p)}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2({\sigma }^{2}p)}{\partial x^2}$

确定性动力学里对应的是相空间密度演化的刘维尔方程 Liouville Equation——没有扩散项的 Fokker-Planck。同一个系统，SDE 描述样本轨道，Fokker-Planck 描述分布，前者适合模拟与单轨迹推理，后者适合统计性质与平稳分布分析。

数值求解

方法	强收敛阶	特点
Euler-丸山	0.5	直接移植欧拉法，简单通用
Milstein	1	补二次变差项，精度提升一档
隐式方法	可变	适合刚性漂移项

ODE 数值法的主角是局部截断误差 $O(\mathrm{d}{t}^2)$；SDE 里 $\mathrm{d}{W}_t\sim \sqrt{\mathrm{d}t}$ 主导误差，Euler-丸山步长减半、误差只按 $\sqrt{1/2}$ 缩，慢得多——Milstein 补上 $(\mathrm{d}{W}_t{)}^2-\mathrm{d}t$ 的修正项才回到一阶强收敛。

import numpy as np
 
def euler_maruyama(mu, sigma, x0, T, n_steps, n_paths, seed=0):
    # GBM: dX = mu*X dt + sigma*X dW；噪声增量 std = sqrt(dt)，不是 dt
    rng = np.random.default_rng(seed)
    dt = T / n_steps
    x = np.full(n_paths, float(x0))
    for _ in range(n_steps):
        dw = rng.standard_normal(n_paths) * np.sqrt(dt)
        x += mu * x * dt + sigma * x * dw
    return x
 
# 模拟 GBM 终值，验证 E[S_T] = S_0*exp(mu*T)
paths = euler_maruyama(mu=0.05, sigma=0.2, x0=100, T=1, n_steps=1000, n_paths=20000)
print(paths.mean(), 100 * np.exp(0.05))

应用

领域	应用
扩散模型	Score-based 生成：加噪-去噪过程本身写成 SDE
金融工程	期权定价（Black-Scholes）、利率模型
物理学	Langevin dynamics 朗之万动力学、分子动力学控温
系统生物学	基因表达噪声、种群随机涨落

扩散模型是近年最亮眼的消费者：前向过程是把数据逐步加噪的 SDE，生成是求解反向 SDE——score 网络学的正是反向漂移项，理论展开见 伊藤积分与伊藤公式 的应用小节。