伊藤积分与伊藤公式

伊藤积分为布朗运动路径定义积分，伊藤公式给出随机过程的链式法则，二者是随机分析与金融数学的基石。

为何需要新积分

布朗运动 $B_t$ 的路径不可微且无界变分，$\int fd{B}_t$ 无法用黎曼-斯蒂尔杰斯积分定义，需要专门的随机积分。

伊藤积分

对可料的简单过程逼近取均方极限：

${\int }_0^T{X}_{t}d{B}_t={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_i{X}_{t_i}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})$

关键：取左端点 $X_{t_i}$（非预测性），与 Stratonovich 积分取平均不同。

核心性质

• 鞅性：${\int }_0^t{X}_{s}d{B}_s$ 是鞅，期望为 0
• 伊藤等距（Itô isometry）： $E\left[{\left({\int }_0^T{X}_{t}d{B}_t\right)}^2\right]=E\left[{\int }_0^T{X}_t^{2}dt\right]$

伊藤公式

随机过程版的链式法则。对 $X_t={\mu }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{B}_t$：

$df(X_t)=\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{2}{\sigma }^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)dt+\sigma \frac{\partial f}{\partial x}d{B}_t$

比普通链式法则多出的 $\frac{1}{2}{\sigma }^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}dt$ 项来自布朗运动的二次变差 $d{B}_t^2=dt$。

应用

• Black-Scholes 期权定价：对资产价格取对数变换消去漂移项
• 随机微分方程（SDE）：如 Langevin dynamics 朗之万动力学 的严格数学基础
• 扩散模型、金融工程中噪声驱动的连续时间模型

延伸阅读

• 布朗运动增量为高斯分布，随机积分的构造依赖测度论