三个关键关系

高数/数分学的普通定积分 = 黎曼积分

黎曼积分是**黎曼-斯蒂尔杰斯积分（R-S 积分）**的特例

集合关系：黎曼积分 ⊂ 黎曼-斯蒂尔杰斯积分

两种积分的定义与公式

定积分在标准课程里被锁死在 $d x$ 上，遇到跳跃、离散、混合型的分布就笨拙起来。R-S 积分把微分 $d x$ 换成任意积分器的 $d g (x)$ ，一套公式同时覆盖连续与离散两类场景。

日常学习的定积分只对被积函数 $f (x)$ 积分，积分变量为 $x$ ：

\int_{a}^{b} f (x) d x = ∥Δ∥ \to 0 lim i = 1 \sum n f (ξ_{i}) Δ x_{i}

双函数积分框架，同时包含被积函数 $f (x)$ 与积分函数 $g (x)$ ，是积分的广义形式：

\int_{a}^{b} f (x) d g (x) = ∥Δ∥ \to 0 lim i = 1 \sum n f (ξ_{i}) [g (x_{i}) - g (x_{i - 1})]

其中 $f (x)$ 为被积函数， $g (x)$ 为积分器（权重函数）。

二者本质关系

当积分器取 $g (x) = x$ 时， $d g (x) = d x$ ，R-S 积分退化为普通定积分：

\int_{a}^{b} f (x) d g (x) = \int_{a}^{b} f (x) d x

R-S 积分完全退化为黎曼积分——普通定积分的本质就是 R-S 积分取 $g (x) = x$ 的特例。

R-S 积分最大的价值：统一「连续积分」与「离散求和」，一套公式适配两类场景。

若积分器 $g (x)$ 为阶梯函数——仅在有限个点跳跃、区间内为常数——R-S 积分直接化为离散求和：

\int_{a}^{b} f d g = i \sum f (x_{i}) p_{i}

其中 $p_{i}$ 为各跳跃点的幅度。这是黎曼积分无法实现的功能，也是概率论中期望公式的理论基础。

若 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，R-S 积分可化为普通黎曼积分：

\int_{a}^{b} f (x) d g (x) = \int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x

这正好对应积分的变量替换法则，让换元积分有了严格的理论支撑。

概率论中随机变量的期望统一用 R-S 积分形式书写（入门教材通用写法），覆盖离散、连续与混合型随机变量：

E [X] = \int x d F (x)

其中 $F (x)$ 为分布函数，可连续、可跳跃、可混合。黎曼积分处理不了带跳跃的分布函数，只能把求和与积分分开写；R-S 记号下两者统一为同一个积分。

进阶说明

严格实分析中，该公式本质是勒贝格-斯蒂尔杰斯积分；入门阶段统一沿用 R-S 记号。

核心判据（充分条件）

区间 $[a, b]$ 上， $f (x)$ 连续、 $g (x)$ 为有界变差函数，则 R-S 积分存在。

有界变差函数可拆解为两个单调不减函数的差值；阶梯函数、一次函数、光滑函数均属此类。

特例验证：黎曼积分中 $g (x) = x$ 是典型有界变差函数，因此连续函数的黎曼积分一定存在。

两者的本质差别在分割对象：R-S 积分分割自变量 $x$ ，L-S 积分分割函数值域（测度思想）。

积分类型	分割方式	适用场景	局限性
黎曼-斯蒂尔杰斯积分（ $R \- S$ ）	分割自变量 $x$	数学分析入门、基础概率	无法处理高频震荡、大量间断点函数
勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（ $L \- S$ ）	分割函数值域（测度思想）	实分析、高等概率论、现代分析	理论更抽象，计算操作性弱

普通定积分是 $g (x) = x$ 特例下的 R-S 积分。R-S 积分通过引入积分器 $g (x)$ ，统一了连续积分、离散求和、积分换元三大场景，是从初等积分到高等分析的过渡核心工具。