这个问题是经典的计算几何问题中的一个变体，也与动态规划有关。题目要求在满足特定条件下，从给定的物品中挑选出尽可能多的物品。满足条件的是，对于任意两个物品 (i) 和 (j)，要么 (x_i < x_j) 且 (y_i < y_j)，要么 (x_i > x_j) 且 (y_i > y_j)。这实际上是要求我们找到一个最长的物品序列，这个序列要么完全按照 (x) 和 (y) 的升序排列，要么完全按照 (x) 和 (y) 的降序排列。
解题思路
排序和动态规划：首先，因为物品之间的比较是基于两个维度的，我们可以先按照其中一个维度（比如 (x)）进行排序。排序后，问题就转化为在另一个维度（(y)）上寻找一个最长递增子序列（LIS）或最长递减子序列（LDS），这是因为对于任意两个物品 (i) 和 (j)，如果 (x_i < x_j)，那么我们只需要保证 (y_i < y_j) 就能满足条件；反之亦然。
最长递增子序列（LIS）：LIS 问题可以通过动态规划解决，其时间复杂度为 (O(n^2))；但是，使用基于二分查找的方法，我们可以将时间复杂度优化到 (O(n\log n))。
算法实现
基于上述思路，我们可以写出解决这个问题的算法。这里，我们直接采用优化的方法，即排序加上基于二分查找的 LIS 或 LDS 方法，以满足时间复杂度 (O(n\log n)) 的要求。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
| def lis(sequence):
"""
计算最长递增子序列的长度，使用二分查找方法。
"""
tails = [0] * len(sequence)
size = 0
for x in sequence:
i, j = 0, size
while i != j:
m = (i + j) // 2
if tails[m] < x:
i = m + 1
else:
j = m
tails[i] = x
size = max(i + 1, size)
return size
def max_items(x, y):
"""
根据题目要求进行排序并计算最长递增或递减子序列的长度。
"""
items = sorted(zip(x, y)) # 按照 x 排序
ys_sorted = [y for _, y in items] # 获取排序后的 y 值
return lis(ys_sorted) # 计算并返回 LIS 的长度
def read_input():
T = int(input().strip()) # 读取有几组数据
data = [] # 用于存储所有组的数据
for _ in range(T):
n = int(input().strip()) # 读取每组数据的物品个数
x = list(map(int, input().strip().split())) # 读取每个物品的第一种属性
y = list(map(int, input().strip().split())) # 读取每个物品的第二种属性
data.append((n, x, y)) # 将读取的数据添加到列表中
return data
def process_data(data):
"""
处理读取的数据
"""
# 此处添加处理数据的代码，例如计算最长递增子序列等
for n, x, y in data:
# 使用之前定义的 max_items 函数处理每组数据
print(max_items(x, y))
# 读取并处理输入
data = read_input()
process_data(data)
|
这段代码首先定义了一个 lis 函数，用于计算一个序列的最长递增子序列的长度。然后，max_items 函数接收物品的两个属性 (x) 和 (y)，首先对物品按照 (x) 进行排序，然后提取出排序后的 (y) 值，最后调用 lis 函数计算最长递增子序列的长度，这个长度就是问题的答案。
💬 评论